kümelerin tanımı ve örnekleri

KÜMELER, KÜMELERİN ÇEŞİTLERİ, KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ, GÖSTERİLİŞLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


A. TANIM

• Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.

• Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

• Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir.

• a elemanı A kümesine ait ise, a A biçiminde yazılır. “ a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.

• b elemanı A kümesine ait değilse, b A biçiminde yazılır. “ b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

• Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

• A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.


B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.


2. Ortak Özelik Yöntemi

Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

Örnek:

Haftanın p harfi ile başlayan günlerini A=( haftanın p harfi ile başlayan günleri ) olarak gösterebiliriz.

Örnek:

A = {x : (x in özelliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.



3. Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.



C. EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C D biçiminde gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.



D. BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da sembolleri ile gösterilir.

ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.



E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME

1. Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C D biçiminde gösterilir. bilgi yelpazesi.net


2. Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.


3. Alt Kümenin Özelikleri

I) Her küme kendisinin alt kümesidir.

A A

II) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

A

III)

IV) dir.

V) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.

VI) elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı



Örnek:



kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

Çözüm:



bu tablodan 3 elemanlı bir kümenin eleman sayısını 1+3+3+1=8 buluruz.

Örnek:

4 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümesi sayısı kaçtır?

Çözüm:




F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

1. Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve biçiminde gösterilir.







2. Birleşim İşleminin Özelikleri



3. Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir.





4. Kesişim İşleminin Özelikleri




G. EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.



H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve



ile gösterilir.



Tümleyenin Özelikleri





I. KUVVET KÜMESİ

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.


J. İKİ KÜMENİN FARKI / FARK İŞLEMİ

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi



biçiminde gösterilir.





Farkla İlgili Özelikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, bilgi yelpazesi.net




K. BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,



ÖRNEK SORU: