Kümeler, Çeşitleri Ve Özellikleri

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, ●ŚOП İKλZ● üyesi tarafından 31 Aralık 2016 tarihinde yazılmıştır. Kümeler, Çeşitleri Ve Özellikleri hakkında bilgi ve tartışmalar.

  1. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    KÜMELER, KÜMELERİN ÇEŞİTLERİ, KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ, GÖSTERİLİŞLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

    A. TANIM

    • Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.

    • Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

    • Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir.

    • a elemanı A kümesine ait ise, a [​IMG] A biçiminde yazılır. “ a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.

    • b elemanı A kümesine ait değilse, b [​IMG] A biçiminde yazılır. “ b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

    • Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

    • Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

    • A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.


    B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

    Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

    1. Liste Yöntemi

    Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

    A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.


    2. Ortak Özelik Yöntemi

    Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

    Örnek:

    Haftanın p harfi ile başlayan günlerini A=( haftanın p harfi ile başlayan günleri ) olarak gösterebiliriz.

    Örnek:

    A = {x : (x in özelliği)}

    Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

    Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.



    3. Venn Şeması Yöntemi

    Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

    Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

    [​IMG]

    C. EŞİT KÜME, DENK KÜME

    Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

    A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

    C kümesi D kümesine denk ise C [​IMG] D biçiminde gösterilir.

    Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.



    D. BOŞ KÜME

    Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

    Boş küme { } ya da [​IMG] sembolleri ile gösterilir.

    [​IMG] ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.



    E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME

    1. Alt Küme

    A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

    A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A [​IMG] B biçiminde gösterilir.

    A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B [​IMG] A biçiminde gösterilir.

    C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C [​IMG] D biçiminde gösterilir. bilgi yelpazesi.net


    2. Özalt Küme

    Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.


    3. Alt Kümenin Özelikleri

    I) Her küme kendisinin alt kümesidir.

    A [​IMG] A

    II) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

    [​IMG] A

    III) [​IMG]

    IV) [​IMG] dir.

    V) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.

    VI) elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı

    [​IMG]

    Örnek:

    [​IMG]

    kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

    Çözüm:

    [​IMG]

    bu tablodan 3 elemanlı bir kümenin eleman sayısını 1+3+3+1=8 buluruz.

    Örnek:

    4 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümesi sayısı kaçtır?

    Çözüm:

    [​IMG]


    F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

    1. Kümelerin Birleşimi

    A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve [​IMG] biçiminde gösterilir.

    [​IMG]

    [​IMG]



    2. Birleşim İşleminin Özelikleri

    [​IMG]

    3. Kümelerin Kesişimi

    A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A [​IMG] B biçiminde gösterilir.

    [​IMG]

    [​IMG]

    4. Kesişim İşleminin Özelikleri

    [​IMG]


    G. EVRENSEL KÜME

    Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.
    [​IMG]


    H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

    Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve

    [​IMG]

    ile gösterilir.

    [​IMG]

    Tümleyenin Özelikleri

    [​IMG]



    I. KUVVET KÜMESİ

    Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

    s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.


    J. İKİ KÜMENİN FARKI / FARK İŞLEMİ

    A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi

    [​IMG]

    biçiminde gösterilir.

    [​IMG]

    [​IMG]

    Farkla İlgili Özelikler

    A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, bilgi yelpazesi.net

    [​IMG]


    K. BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI

    A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

    [​IMG]

    ÖRNEK SORU:

    [​IMG]

    [​IMG]
    31 Aralık 2016
    #1
  2. Kümeler, Çeşitleri Ve Özellikleri Cevapları

  3. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    KÜMELER, KÜMELERİN ÇEŞİTLERİ, KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ (2) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


    İstenilen özellikte elemanların oluşturduğu topluluğa küme denir

    “yaz mevsimi ayları” bir küme belirtir

    {Haziran,Temmuz,Ağustos} bu kümenin elemanları olup liste biçiminde yazmadır.

    A={x|xÎZ ve 3<x<6} kümesinin ortak özellik yöntemi ile yazılmış olup A={4,5} dir liste yöntemi ile yazılmıştır


    Boş Küme;

    Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } veya O ile gösterilir


    Örnek;

    B={x|xÎZ x2=-9} kümesi boş kümedir Çünkü karesi –9 olan tam sayı yoktur. Yani={ } dır


    Tanım :

    Bir A kümesi eleman sayısına nicelik sayısı denir ve S(A) ile gösterilir


    Örnek : A={3,2,C,1}

    S(A)=4 B={ } ise S(B)=0


    Veen Şeması ile gösterme;
    Örnek;A={Ali,Veli,Hassan} ise A kümesinin veen şeması ile gösterimi aşağıdaki gibidir

    [​IMG]
    Alt Küme

    A kümesinin, bazı elemanları alınarak oluşturulan B kümesine A nın alt kümesi denir ve [​IMG] ile gösterilir

    Örnek;

    A ={x|xÎZ ve x2-9=0}

    B={x|xÎZ ve -4≤x≤4} kümeleri için;

    =x2-9=0=x2 =[​IMG]3 dür

    =A={-3,3}

    B={-4,-3.-2.-1,0,1,2,3,4} olduğundan [​IMG] dır


    Tanım; Bir kümenin kendisinden farklı her altkümesine bu kümenin özalt kümesi denir küme her kümenin alt kümesidir


    Eşit Kümeler;

    Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit küme denir
    Örnek;

    M={0,1,2,3,4}

    N={x|xÎZ –1<x<5}[​IMG][​IMG]

    N={0,1,2,3,4} M=N dır


    Tanım;

    Elemanları sayılabilen çoklukta olan kümelere sonlu kümeler denir sayılamaz çoklukta olan kümelere sonsuz kümesi denilmektedir.


    Not;

    Her A kümesi [​IMG] dır

    A kümesi için S(A)=n ise alt küme sayısı 2n özalt küme sayısı 2n-1 dir


    Örnek;

    A={2,{2},a,5} ise A kümesinin alt ve özalt küme sayıları kaçtır?

    S(A)=4=n dır

    Alt küme sayısı 2n den 24=16 dür Özalt küme sayısı 2n-1 den 24-1=15



    Örnek;

    A={2,3,5,7,11,14}

    B={x| xÎA x tek sayı} ise S(B) kaçtır?

    B={3,5,7,11} S(A)=4 dür

    Örnek;A={1,2,3,4} , B={1,2} [​IMG] şartına uyan tüm M kümelerini bulunuz?

    M={1,2} M={1,2,3} M={1,2,3,4} M={1,2,4} yazılabilir


    Kümelerde İşlemler
    Tanım;

    A ve B kümeleri elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin” birleşimi” denir ve A[​IMG]B ile gösterilir oluşan bu A[​IMG]B kümesinin elemanları A nında olabilir B ninda olabilir


    U nın özellikleri;

    [​IMG]


    Örnek;

    [​IMG]



    Kümeleri Keşişimi;

    A ile B ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye bu iki kümenin ara kesiti denir ve [​IMG] ile gösterilir [​IMG] kümesinin elemanları hem A nın hem de B nin elemanlardır

    [​IMG]


    Örnek;


    A={1,2,a,b} B={3,2,3,}


    [​IMG]={2,a}



    Tanım;


    Ortak elemanı olmayan iki kümeye “ayrık kümeler”denir yani arakesiti boştur .


    Örnek;[​IMG]

    [​IMG]



    Örnek;

    36 kişilik bir sınıfta her öğrenci İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir İngilizce bilenlerin sayısı 23, Fransızca bilenlerin sayısı 18 ise bu sınıf da kaç öğrenci her iki dili bilmektedir?

    [​IMG]

    36=23+18-x x=5 dır



    Evrensel Küme;

    Bütün kümeleri kapsayan en geniş kümeye “evrensel küme” denir


    Tümleme;

    Evrensel kümesinin bir A alt kümesi için a ya alt olmayan elemanların meydana getirdiği kümeye A nın Tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir [​IMG]



    Özelikler;

    E evrensel küme ve A[​IMG]E İÇİN bilgiyelpazesi.com

    [​IMG]





    Demorgen kuralları;

    [​IMG]



    Örnek;

    E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,}

    A’={2,3,5,6,7,9}

    B={1,3,5,7}



    Kümeleri için

    B’={2,4,6,8,9}

    [​IMG] {2,3.4.5.6.7.9.} dır


    Not; E evrensel küme ve [​IMG] için s(A)+s(A’)=s(E) dır


    Örnek;

    E evrenesel küme ve [​IMG] için

    S(A)+s(A’)=19 ,s(B’)+s(A)=23 s(C’)=17 s(C) nedir ?

    S(B) +s(A’)+s(B’)+s(A)=19+23

    S(E)+S(E)=42

    2.S(E)=42=s(E)=21

    s(C)+S(C’)=S(E)=s(C)+17=21 S(C)=4 olur


    Örnek:

    A kümesinin 63 tane özalt kümesi varsa evrensel küme kaç elemanlıdır?

    A=15+1 s(A)=4

    A’=64 s(A)=8

    S(E)=s(A’)+s(B)

    S(E)=8+4=10


    Örnek:

    36 kişilik bir sınıfta matematik den geçenlerin sayısı 3 fizikten geçenlerin sayısı 7 dir hem matematik hem de fizikten geçenlerin sayısı 1 olduğuna göre her iki dersten den kalanların(geçemeyenlerin) sayısı kaçtır?

    [​IMG]

    =3+7-1=9

    S(E)=36-9=27 olur


    Örnek:

    A={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümesinde kaç tanesinde 5 elemanı bulunur

    2n=25=32 A kümesinin alt küme sayısı

    24=16 A nın 5 dışındaki elemanlarının alt kümesi sayısı

    32-16=16




    Örnek:

    E evrensel küme için [​IMG] için

    [​IMG]

    S(A’)=9

    S(B’)=5

    S(E)=16 ise s(AUB) sayısı kaçtır ?

    S(E)=s(A’)+s(A)

    16=9+7

    s(E)=S(B’)+S(B)

    16=9+11

    [​IMG]

    11+7-4=14 dır


    Örnek;

    Bir sınıfın mevcudu 45 dir bunlardan 20 si santranç 35 hentbol 15 de hem satranç hem de hentbol oynamaktadır bu sınıfta kaç öğrenci i satranç nede hentbol oynamamaktadır?

    [​IMG]

    45=20+25-15=

    =40 Mevcut 45 idi

    45-40=5 kişidir.[​IMG]

    İki küme farkı;

    A ve B kümesi için A da olup B de olmayan elemanların kümesi A/B veya A-B ile gösterilir

    [​IMG]

    A/B≠B/A


    Örnek:

    [​IMG]
    Özelikler;

    1.A-A={ }

    2.A-{ }=A

    3.E/A=A’

    4.{ }-A={}

    [​IMG]


    Örnek:

    (A/B)UB=AUB olduğunu gösteriniz? bilgiyelpazesi.com

    [​IMG]


    Örnek:

    A/(A/B) ifadesi nedir?

    [​IMG]


    Örnek:

    [​IMG]

    [​IMG]


    Örnek:

    S(AUB)=20

    S(A)=11

    S(B)=15

    S(A/B)=?

    [​IMG]

    20=11+15-X

    X=6

    A=11-6=5

    B=15-6=9

    A/B=5 olur
    31 Aralık 2016
    #2
  4. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    KÜMELER, KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ, KÜMELERİN ÇEŞİTLERİ (3) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


    · Nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesine küme denir.

    · Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir.

    · Küme; A, B, C,… gibi büyük harflerle gösterilir.

    · A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

    · x nesnesi A kümesinin elemanı ise x Î A biçiminde gösterilir.

    · Kümede bir eleman bir defa yazılır.


    ÖRNEK : A = {a, b, {a, b}, c} kümesi için

    · a Î A

    · b Î A

    · a, b Î A

    · {a, b} Î A

    · s(A) = 4

    · a, b, c Î A

    yazılanlardan hangileri doğrudur?



    KÜMELERİN GÖSTERİMİ

    1. LİSTE YÖNTEMİ

    A = {2,4,6,8}



    2. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ

    A = {x|x, 10 dan küçük pozitif çift sayı}



    3. VENN ŞEMASI YÖNTEMİ

    [​IMG]
    EŞİT KÜMELER

    · Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir.

    · A = {x: |x| ≤ 2 ve xÎ Z} ve B = {x: x2 ≤ 4 ve xÎZ} kümeleri eşit kümelerdir.Yani A = B dir.



    BOŞ KÜME
    · Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

    · Ø veya { } şeklinde gösterilir.

    · Boş kümenin eleman sayısı 0 dır.



    ALT KÜME
    · Bir A kümesinin her elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir ve A Ì B şeklinde gösterilir.

    · Her küme kendisinin alt kümesidir.(A Ì A)

    · Boş küme her kümenin alt kümesidir.(ø Ì A)

    · (A Ì B ve B Ì A) Þ A = B dir.

    · (A Ì B ve B Ì C) Þ A Ì C dir.

    · n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n dir.

    · n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri sayısı :

    [​IMG]

    ÖZALT KÜME

    · Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir.

    · n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2n – 1 dir.


    EVRENSEL KÜME


    · Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir.

    · Evrensel küme E sembolüyle gösterilir.

    [​IMG]




    BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
    · Bir A kümesi, E evrensel kümesinin alt kümesi olsun.E de olup da, A da olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A’ nın tümleyeni denir.

    · A’ veya A şeklinde gösterilir.

    · A’ = {x| xÎE ve xÏA} dır.

    · (A’)’ = A

    · E’ = Ø

    · Ø’ = E

    · s(A) + s(A’) = s(E)

    · A Ì B Û B’ Ì A’



    KÜMELERDE KESİŞİM
    · A ile B kümelerinde ortak elemanlardan meydana gelen kümeye A kesişim B kümesi denir.

    · AÇB şeklinde gösterilir.

    · AÇB = {x| xÎA ve xÎB} dir.



    KÜMELERDE BİRLEŞİM bilgiyelpazesi.com
    · A ile B kümelerinde bütün elemanlardan meydan gelen kümeye A birleşim B kümesi denir.

    · AÈB şeklinde gösterilir.

    · AÈB = {x| xÎA veya xÎB} dir.



    KÜMELERDE KESİŞİM VE BİRLEŞİM İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER


    · Kesişim ve birleşim işlemlerinin değişme özelliği vardır.

    AÇB = BÇA

    AÈB = BÈA

    · Kesişim ve birleşim işlemlerinin birleşme özelliği vardır.

    (AÇB)ÇC = AÇ(BÇC) = AÇBÇC

    (AÈB)ÈC = AÈ(BÈC) = AÈBÈC

    · Kesişim ve birleşim işlemlerinin birbirleri üzerlerine dağılma özelliği vardır.

    AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC)

    AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC)

    · De Morgan kuralları

    (AÇB)’ = A’ÈB’

    (AÈB)’ = A’ÇB’

    · AÇA = A AÇA’ = Ø AÇØ = Ø AÇE = A

    · AÈA = A AÈA’ = E AÈØ = A AÈE = E





    KÜMELERDE FARK


    · A ve B aynı evrensel kümeye ait iki küme olmak üzere, A’ ya ait olup da B’ ye ait olmayan elemanlardan oluşan kümeye A fark B kümesi denir.

    · A \ B veya A – B şeklinde gösterilir.

    · A – B = {x| xÎA ve xÏB} dir.

    · s(AÈB) = s(A – B) + s(B – A) + s(AÇB)

    · A D B = (A – B)È(B – A) (D : Simetrik Fark)



    NOT : Küme problemlerinde aşağıdaki pratik şema yöntemini kullanabiliriz.




    [​IMG]



    · Sınıfta E = x + y + z + t tane öğrenci vardır.

    · A :Almanca bilenlerin sayısı

    · İ :İngilizce bilenlerin sayısı

    · Sadece Almanca bilenlerin sayısı : x

    · Sadece İngilizce bilenlerin sayısı : z

    · Almanca bilenlerin sayısı : x + y

    · Almanca bilemeyenlerin sayısı : z + t

    · İngilizce bilenlerin sayısı : y + z

    · İngilizce bilmeyenlerin sayısı : x + t

    · Almanca ve İngilizce bilenlerin sayısı : y

    · Almanca veya İngilizce bilenlerin sayısı : x + y + z

    · Almanca ya da İngilizce bilenlerin sayısı : x + z

    · Almanca veya İngilizceden en az birini bilenlerin sayısı : x + y + z

    · Almanca veya İngilizceden en çok birini bilenlerin sayısı : x + z + t

    · Almanca bilip, İngilizce bilmeyenlerin sayısı : x

    · İngilizce bilip, Almanca bilemeyenlerin sayısı : z

    · Ne Almanca ne de İngilizce bilenlerin sayısı : t

    · Sadece bir dil bilenlerin sayısı : x + z

    · Sadece iki dil bilenlerin sayısı : y
    31 Aralık 2016
    #3
soru sor

Kümeler, Çeşitleri Ve Özellikleri