Küme, Evrensel Küme, Kümenin Tümleyeni, İki Kümenin Farkı, Açık Önermeler

KÜME, EVRENSEL KÜME, KÜMENİN TÜMLEYENİ, İKİ KÜMENİN FARKI, AÇIK ÖNERMELER İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

EVRENSEL KÜME

Bir kümeye ait elemanlar yanında, bu kümeye ait olmayan elemanların kümesinden de söz edilebilir.Yalnız, bir kümeye ait olmayan bütün elemanların kümesi çok geniş olacağından, hem kullanışlı olmaz hem de hangisinin eleman olup olmadığını tanımlamak güç olur .Bu sebeple bir evrensel küme kabul edilir.Küme denildiğinde bu kümenin elemanları anlaşılır.



AÌE dir

Tüm kümeler evrensel kümenin bir alt kümesidir.Yukarıdaki örnekte; E={x,y,z,a,b} dir

TANIM: Elemanları, incelenen probleme göre belirlenen en geniş kümeye, evrensel küme denir ve "E" ile gösterilir.


ÖRNEKLER

1. “x³-27=0 denklemini saglayan tek sayıyı bulunuz.”probleminde evrensel küme;

E={1,3,5,7,9,11,…} tek sayma sayıları kümesidir.

2. “1 ile 15 arasında ve x²- 4=0 denklemini sağlayan asal sayıları bulunuz.”

Probleminde evrensel küme; E={2,3,5,7,11,13} dir.

3. A={a,b,c,d,e} kümesinin evrensel kümesi ;

E={Türk alfabesi} dir.

4. A={1,2,3,4,5,6,} ise A kümesinin evrensel kümesi;

Eı={1,2,3,4,…} E2={xl x, tam sayı} E3={xl x, gerçek sayı} kümeleridir.

5. A={ü, ç, g, e, n,} ile A nın evrensel kümesi,

E={d, і, k, ü, ç, g, e, n} veriliyor. EÇA ve EÈA kümeleri bulunuz.

Çözüm: EÇA={d,і,k,ü,ç,g,e,n} Ç {ü,ç,g,e,n}={ü,ç,g,e,n}=A Þ E ÇA=A dır. EÈA={d,і,k,ü,ç,g,e,n}È{ü,ç,g,e,n}={d,і,k,ü,ç,g,e,n}=E Þ EÈA=E dir.



TÜMLEME

TANIM: A bir küme olsun. Evrensel kümede A ya ait olmayan elemanların kümesine A'nın tümleyeni denir ve A ile gösterilir

A nın tümleyeni A¢{xl xÎL xÏA} olup tanıma göre, aÎA¢ Û aÏA dır.



TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ

1. Ø¢=E ve E¢=Ø

2. Her A kümesi için ,(A¢)¢=A dır.

3. Her A kümesi için ,AÈA¢=E=A¢ÈA dır.

4. Her A kümesi için ,AÇA¢=Ø=A¢ÇA dır.

5. (AÇB)¢=A¢ÈB¢ ve (AÈB)¢=A¢ÇB¢ dir.

6. AÌB Û B¢ÌA¢ dir.

ÖRNEKLER

1. E={0,1,2,3,4,…} ve A={1,3,5,7,…} olduğuna göre, A¢={0,2,4,6,…} dir

2. A={1,2,3,4,5} ve E={xlx, sayma sayısı} ise A nın kümesini tümleyeni, A¢={6,7,8,9,…} dir.

3. A={1,3,5} ile A nın farklı evrensel kümeleri; Eı={1,3,5,7,9} ve E2={1,2,3,4,5,6,7,8,9} veriliyor. A kümesinin Eı ve E2 kümelerindeki tümleyenleri kümelerini bulalım. A¢ı¹ A¢2 müdür?

ÇÖZÜM: A nın Eı deki tümleyeni, A¢1={7,9} dur. A kümesinin E2 deki tümleyeni, A¢2 {0,2,4,6,7,8,9} dur. A¢I ¹ A¢2 dür.Bir kümenin farklı 2 evrensel kümeye göre tümleyeni farklıdır. bilgiyelpazesi.com

İKİ KÜMENİN FARKI

TANIM: A ve B iki küme olsun. A kümesine ait olup da B e kümesine ait olmayan elemanların oluşturduğu yeni kümeye A nın B den farkı denir.A\B (ya daA-B) ile gösterilir.


A\B={xl xÎA L xÏB} yazılr.Venn şemasıyla A\B kümesi, aşağıdaki şekilde gösterilir.



A\B kümesi E de boyanan bölgedir.



ÖRNEKLER

1. A={a,r,t,v,і,n} ve B={t,v} olduğuna göre, A\B ve B\A kümelerini yazınız.

ÇÖZÜM: A\B Aşağıdaki şemada boyalı kısımdır.





A\B={a,r,і,n} dir.



B\A= Ø dir.


2. A={a,b,c,d,e,f}, B={a,b,k,n} olduğuna göre , A\B ve B\A kümelerini bulalım.

ÇÖZÜM: A\B={c,d,e,f} ve B\A={k,n} dir. O halde, A\B ¹ B\A dır.Vvenn şsemasıyla, aşağıdaki şekilde gösterilir:




3. A={1,2,3} ve B={p,r,s} olduğuna göre, A\B ve B\A yı bulunuz.

ÇÖZÜM: A\B={1,2,3} ve B\A={p,r,s} olup, Venn şemasıyla ,


bulunur.



AÇIK ÖNERMELER


“xÎN olmak üzere “x, 3 ün katıdır.” Biçiminde bir cümlenin açık bir önerme olduğu mantık bölümünde ifade edilmişti.x yerine doğal sayılar kümesinden bir eleman konulduğunda cümle, önermeye dönüşmektedir. bilgiyelpazesi.com


“x, 3 ün katıdır” ifadesinde, x in yerine 6 yazılırsa,

“6, 3 ün katıdır.”

olur.Bu bir doğru önermedir.Ancak x in yerine 7 yazılırsa,

“7, 3 ün katıdır.”

olur.Bu bir yanlış önermedir.x in yerine bir eleman yazılmadan doğru ya da yanlış olduğu bilinemez. Bu ifadede x e değişken denir.



İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenebilen ifadelere, açık önerme denir.



Bu açık önermeyi, içerdiği değişkenine doğal sayılarda belli bir değer vermeden bir önermeye dönüştürmeye çalışalım.



“x, 3 ün katıdır.” açık önermesinde x ten önce “her” kelimesini koyarak ”her x, 3 ün katıdır.” biçiminde bir cümle yapalım.Bu önerme doğal sayılarda tanımlı olduğundan bu önermenin yanlış olduğu hemen görülür.Çünkü, her doğal sayı 3 ün katı değildir. Böylece bu açık önermenin, her kelimesiyle yanlış bir önermeye dönüştüğü görülür. Bu defa, aynı (bilgi yelpazesi.net) önermede x ten önce “en az bir” ifadesini koyarak “En az bir x, 3 ün katıdır.” Biçiminde bir cümle yapalım. Bu cümlenin doğru bir cümle olduğu hemen görülür. Doğal sayıların 3 ün katı olan elemanları vardır. Böylece bu açık önerme “en az bir” ifadesiyle doğru bir önermeye dönüştürüldü.


Seçilen bir evrensel kümede bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine ,bu açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi denir.


Bu açıklamalardan , bir açık önermedeki x değişkeni “her” ya da “en az bir” kelimeleriyle nicelenerek bir önermeye dönüştürülebilir , sonucuna varılır.


ÖRNEKLER

1. “" xÎZ için x²= 1 dir.” önermesinin doğruluk kümesi , karesi 1 olan tam sayılardır. Bu sayılar , -1 ve +1 olduğu için ,

Ç={ -1 , +1} dir.




BOŞ KÜME


Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. sembolü ile gösterilir.


Örnek


6 ile 8 arasındaki çift doğal sayılar kümesi boş kümedir.


Uçan filler kümesi boş kümedir.Örnek


6 ile 8 arasındaki çift doğal sayılar kümesi boş kümedir.


Uçan filler kümesi boş kümedir.