Koordinat Sistemi, Analitik Düzlem, Nokta, Doğru, Analitik Çember, Özellikleri

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, ●ŚOП İKλZ● üyesi tarafından 31 Aralık 2016 tarihinde yazılmıştır. Koordinat Sistemi, Analitik Düzlem, Nokta, Doğru, Analitik Çember, Özellikleri hakkında bilgi ve tartışmalar.

  1. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    Koordinat Sistemi, Analitik Düzlem, Nokta, Doğru, Analitik Çember, Özellikleri


    ANALİTİK DÜZLEM, ANALİTİK DÜZLEMDE NOKTA, DOĞRU, ANALİTİK ÇEMBER, KOORDİNAT SİSTEMİ, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)


    ANALİTİK DÜZLEM


    Başlangıç noktaları aynı, birbirine dik iki reel sayı ekseninden oluşan sisteme koordinat sistemi denir.

    [​IMG]

    Yukarıda bir kordinat sistemi çizilmistir.

    Yatay eksene x ekseni (absis), düsey eksene y ekseni (ordinat) denir.

    İçerisinde bir koordinat sistemi alınan düzleme analitik düzlem adı verilir.

    Analitik düzlemde noktalar, koordinatlar dediğimiz reel sayı ikilileri ile gösterilir.

    Bir noktanın koordinatları eksenlere indirilen dikme ayaklarına karsı gelen sayılardır.

    x eksenindeki önce, y eksenindeki sonra yazılır.

    Örneğin yukarıdaki sekildeki A noktasının koordinatları (5,3) dür.

    Analitik düzlemde noktalar dört farklı bölgede bulunurlar.

    x > 0 , y > 0 olan A(x,y) noktaları I. bölgede, x < 0, y > 0 olan B(x,y) noktaları II. bölgede x < 0, y < 0 olan C(x,y) noktaları III. Bölgede ve x > 0 , y < 0 olan D(x,y) noktaları IV. bölgede bulunur.

    Ayrıca x ekseni üzerinde bulunan her noktanın (y) si sıfırdır.

    Bundan dolayı x ekseni y = 0 doğrusudur; y ekseni üzerinde bulunan her noktanın absisi sıfırdır.

    Bundan dolayı y ekseni x = 0 doğrusudur.

    x = n doğrusu x = n den y eksenine çizilen paralel doğrudur.


    [​IMG]


    y = m den x eksenine çizilen paralel doğru da y = m doğrusudur.



    ÖRNEK:

    A(a,b) noktası koordinat düzleminde 3. bölgede bulunduğuna göre, (a,b) ikilisi asağıdakilerden hangisi olabilir?

    A) (1, 2)

    B) (–3, 2)

    C) (2, –3)

    D) (–1, –1)

    E) (0, 4)


    Çözüm:

    Üçüncü bölgede x < 0 , y < 0 olduğu için istenen nokta (–1, –1) olabilir.

    Yanıt: D


    ANALİTİK DÜZLEMDE NOKTA–DOĞRU İLİSKİLERİ


    1) A(x1y1) ve B(x2y2) ise A, B noktaları arasındaki uzaklık

    [​IMG]

    formülü ile bulunur.



    DOĞRUNUN EĞİMİ



    Tanım:

    Bir doğrunun x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açının tanjantına O doğrunun eğimi denir.

    [​IMG]

    d doğrusu eğimi => m = tan[​IMG] dır.



    İKİ NOKTASI BİLİNEN BİR DOĞRUNUN EĞİMİ


    A(x1y1), B(x2y2) iken AB doğrusunun eğimi

    [​IMG]


    ÖRNEK:

    A(1,2), B(–2,3) noktalarından geçen doğrunun eğimi nedir?

    [​IMG]


    Çözüm:

    [​IMG]



    DOĞRU DENKLEMİ


    Birinci dereceden iki bilinmeyenli ax + by + c = 0 gibi her denklem analitik düzlemde bir doğru gösterir.

    Bir doğru denkleminde doğrunun eğimini bulmak için denklem y ye göre çözülür. x in katsayısı eğimdir.

    [​IMG]


    ÖRNEK:

    mx + (m + 1) y – 3m + 4 = 0 doğrusunun eğimi

    [​IMG] ise m kaçtır?

    A) 3 B) 4 C) 5 D) –3 E) –4


    Çözüm:

    mx + (m + 1) y – 3m + 4 = 0 doğrusunun eğimi

    [​IMG]

    Yanıt: A



    ÖRNEK:

    x + y – 12 = 0 doğrusu x ekseninin pozitif yönüyle kaç derecelik açı yapar?

    A) 45

    B) 75

    C) 120

    D) 135

    E) 150


    Çözüm:

    x + y – 12 = 0 => y = –x + 12 dir.

    Bu doğrunun eğimi m = –1 dir.

    Eğim açısı tan[​IMG] = –1 den [​IMG] = 135° bulunur.

    Yanıt: D



    ÖRNEK:

    [​IMG] doğrusu x ekseninin pozitif yönü ile kaç derecelik açı yapar?

    A) 60

    B) 75

    C) 80

    D) 120

    E) 150


    Çözüm:

    [​IMG] x – y + 5 = 0 => y = [​IMG] x – 5 den

    eğim: m = 3 bulunur.

    Doğrunun x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açı [​IMG] ise m = tan[​IMG] = [​IMG] tür.

    Burada [​IMG] = 60 olduğu görülür.

    Yanıt: A



    KÖŞELERİNİN KOORDİNATLARI


    A(x1y1), B(x2y2), C(x3y3) olan ABC üçgeninin alanı:

    Asağıdaki formülle bulunur.

    [​IMG]

    pratikte üç kösenin koordinatları alt alta konur. İlk köse alta birkez daha yazılır. Çapraz çarpımların toplamları (bilgi yelpazesi.net) bulunur.

    Bunların farkının mutlak değerinin yarısı alandır.

    [​IMG]


    ÖRNEK:

    Köseleri A(3,6), B(–1,5), C(5,7) olan üçgenin alanı kaç br2 dir?

    [​IMG]


    Çözüm:

    Formülle:

    [​IMG]

    dir.

    Yanıt: B


    Pratik Çözüm:


    [​IMG]


    8. A(x1y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi:

    y – y1 = m (x – x1)

    dir.



    ÖRNEK:

    A(2, –5) noktasından geçen ve eğimi

    [​IMG]

    Olan doğrunun denklemi hangisidir?

    A) x + 3y + 13 = 0

    B) x + 3y – 15 = 0

    C) x – 3y + 13 = 0

    D) x – 3y – 15 = 0

    E) x + y + 3 = 0


    Çözüm:

    Denklemi: y – y1 = m (x – x1) den

    [​IMG]



    ÖRNEK:

    A(–2,6) noktasından geçen ve x ekseninin pozitif yönü ile 45° lik açı yapan dğrunun denklemi nedir?

    A) y – x – 6 = 0

    B) y – x – 5 = 0

    C) y – x – 10 = 0

    D) y + x – 8 = 0

    E) y – x – y = 0


    Çözüm:

    A(–2,6) noktasından geçen ve eğimi

    m = tan45° = 1 olan doğru denklemi:

    y – 6 = 1 (x + 2) [​IMG] y – x – 8 = 0 bulunur.

    Yanıt: E



    A(x1y1) ve B(x2y2) noktalarından geçen doğru denklemi:

    [​IMG]

    [​IMG]

    Özel olarak eksenleri A(a,0) ve B(b,0) noktalarında kenar doğru denklemi:

    [​IMG]



    ÖRNEK:

    A(3,6) ve B(4,–3) noktalarından geçen doğru denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

    A) 9x – y + 33 = 0

    B) 9x + y – 33 = 0

    C) 9x + y + 7 = 0

    D) 9x + 3y – 2 = 0

    E) 9x + 8y + 13 = 0


    Çözüm:

    İki noktası bilindiğinden,

    [​IMG]

    bulunur.

    Yanıt: B



    ÖRNEK:

    [​IMG]

    Yukarıdaki şekilde verilen doğrunun denklemi hangisidir?

    A) x + 3y + 3 = 0

    B) 3x + y – 3 = 0

    C) x + 3y + 5 = 0

    D) x – 3y + 3 = 0

    E) x – y + 3 = 0


    Çözüm:

    Eksenleri (–3,0) ve (0,1) noktalarında kesiyor.

    O halde denklem

    [​IMG]

    bulunur.

    Yanıt: D



    10. A(x1y1) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı:

    [​IMG]


    ÖRNEK:

    A(3,–2) noktasının 3x – 4y + 3 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

    A) 2

    B) 3

    C) 4

    D) 5

    E) 6


    Çözüm:

    [​IMG]

    Yanıt: C



    ÖRNEK:

    Bir ADBC nin [BC] kenarı, denklemi 5x + 12y + 3 = 0 olan bir doğru üzerindedir.

    A kösesinin koordinatları (5,2) olduğuna (bilgi yelpazesi.net) göre, ha yüksekliği kaç birimdir?

    A) 6

    B) 5

    C) 4

    D) 3

    E) 2


    Çözüm:

    ha yüksekliği, A kösesinin BC doğrusuna olan uzaklığı olacağı için

    [​IMG]

    Yanıt: C



    Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğru arasındaki açının tanjantı

    [​IMG]dir. (Aralarındaki açı 0° ise yani doğrular paralelse m1=m2 dir. Aralarındaki açı 90° ise tanjant tanımsızdır. 1+m1m2 = 0 dan m1.m = –1 dir.)

    Paralellik kosulu: m1 = m2 olmalı

    Diklik kosulu: m1.m2 = –1 olmalıdır.



    ÖRNEK:

    [​IMG] doğruları arasındaki dar açının tanjantı

    nedir?

    [​IMG]


    Çözüm:

    [​IMG]

    Yanıt: A


    Not: Bu iki doğru arasındaki genis açının tanjantı sorulsaydı, bulunan bu değerin negatifi alınırdı.

    [​IMG]



    ÖRNEK:

    (m–1) x + 3y – m – 3 = 0 , (m – 3) x + 2y – m + 1 = 0

    Bu iki doğrunun paralel olması için m ne olmalıdır?

    A) 5

    B) 6

    C) 7

    D) 8

    E) 9


    Çözüm:

    Bu iki doğrunun eğimi esit olmalıdır.

    [​IMG]

    Yanıt: C


    Not: ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 doğruları paralel ise

    [​IMG]



    ÖRNEK:

    [​IMG]

    doğrularının dik olması için m ne olmalıdır?

    A) 10

    B) 16

    C) 17

    D) 18

    E) 20


    Çözüm:

    Doğruların dik olması için eğimleri çarpımları –1 olmalıdır.

    [​IMG]

    Buradan 6m – 30 = 3m ve m = 18 bulunur.

    Yanıt: D



    Denklemleri ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 olan iki doğrunun belirttiği açıların açıortaylarının denklemleri:

    [​IMG]


    (Açıortayların, kenarlardan esit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olduğuna dikkat ediniz.)

    [​IMG]

    formüldeki ( ∓ ) isareti + olarak alındığında d1 doğrusu bulunuyorsa (–) alındığında d2 doğrusu bulunur.



    ÖRNEK:

    Denklemleri 9x – 2y + 12 = 0 ve 6x + 7y – 15 = 0 doğrularının belirttiği açıların açıortaylarının birinin denklemi asağıdakilerden (bilgi yelpazesi.net) hangisidir?

    A) x + 3y + 9 = 0

    B) 15x + 5y + 5 = 0

    C) x – 4y + 9

    D) 3x + 6y + 9 = 0

    E) 15x + 5y – 3 = 0


    Çözüm:

    Açıortay denklemleri

    [​IMG]dur. Paydaları esit ve 85 olduğundan sadelestirilir.

    9x – 2y + 12 = ∓ (6x + 7y – 5)

    Buradan (+) lısı alındığında,

    3x – 9y + 27 = 0 den x – 3y + 9 = 0 bulunur.

    (–) lisi alındığında, 15x + 5y – 3 = 0 bulunur.

    Yanıt: E



    Üç kösesi bilinen ağırlık merkezinin koordinatları Üçgenin köseleri A(x1y1) , B(x2y2) , C(x3y3) ise ağırlık merkezi G nin koordinatları

    [​IMG]



    ÖRNEK:

    Köselerinin koordinatları A(6,–1), B(5,8), C(–2,11) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları nedir?


    Çözüm:

    [​IMG]

    O halde ağırlık merkezi G(3,6) noktasıdır.



    Denklemleri ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 olan iki doğrunun kesisme noktalarından geçen tüm doğruların demetinin denklemi:

    [​IMG]

    m farklı değerler aldıkça A dan geçen farklı doğrular bulunur.



    ÖRNEK:

    3x – 5y – 8 = 0 ve 5x + 2y + 4 = 0 doğrularının kesişme noktası ile orijinden geçen doğru denklemi hangisidir?

    A) 13x – 9y = 0

    B) 9x – 12y = 0

    C) 9x + 13y = 0

    D) 13x + 9y = 0

    E) 9x + y = 0


    Çözüm:

    3x + 5y – 8 = 0 ve 5x + 2y + 4 = 0 doğrularının kesişme noktasından geçen tüm doğruların demetinin denklemi:

    3x + 5y – 8 + m (5x + 2y + 4) = 0 dır.

    Aranılan denklem budur. m yi bulmak için verilen noktanın koordinatları bu denklemi sağlamalıdır.

    Verilen nokta O(0,0) olduğu için,

    –8 + 4m = 0 => m = 2

    dir.

    Aranılan doğru denklemi:

    3x + 5y – 8 + 2 (5x + 2y + 4) = 0 dan

    13x + 9y = 0 bulunur.

    Yanıt: D



    ÖRNEK:

    (3 + m) x + (2 – m) y – 11 + 3m = 0 (m e R) ise bu denkleminin gösterdiği doğrular hangi noktadan geçerler?

    A) (4, 1)

    B) (1, 4)

    C) (–1, 4)

    D) (–4, 1)

    E) (1, 1)


    Çözüm:

    1. yol: Denklem parantezden kurtarılır ve m ye göre düzenlenerek doğru demetinin denklemi bulunur.

    [​IMG]

    Sistemin çözümü: x = 1, y = 4 olduğu için nokta (1,4) dır.


    2. yol: m için farklı iki değer verilerek iki bilinmiyenli iki denklem bulunur.

    Bu sistem çözülür.

    (3+m) x + (2–m) y – 11 + 3m = 0 denkleminde m = –3 ve m = 2 verelim.

    [​IMG]

    bulunur. Nokta A(1,4) dür.

    Yanıt: B



    SİMETRİLER:


    P(x,y) noktasının x eksenine göre simetriği P'(x,–y) dir.


    P(x,y) noktasının y eksenine göre simetriği P'(–x,y) dir.


    P(x,y) noktasının orijine göre simetriği P(–x,–y) dir.


    P(x,y) noktasının y=x doğrusuna göre simetriği P'(y,x) dir.


    P(x,y) noktasının y = –x doğrusuna göre simetriği : P'(–y,–x) dir.


    P(x,y) noktasının x = a doğrusuna göre simetriği: P'(2a–x,y) dir.


    P(x,y) noktasının y = b doğrusuna göre simetriği: P'(x,2b–y) dir.


    P(x,y) noktasının A(a,b) noktasına göre simetriği P'(2a–x,2b–y) dir.



    ÖRNEK:

    A(2,1) noktasının B(3,2) noktasına göre simetriği C dir. C nin y = x doğrusuna göre simetriği D ise |AD| uzunluğu kaç birimdir?


    [​IMG]



    Çözüm:

    A(2,1) in B(3,2) ye göre simetriği C(2.3–2, 2.2–1) => C(4,3) tür.

    ( [AC] nin ortasının B olduğuna dikkat ediniz.)

    C nin y = x e göre simetriği D(3,4) dür.

    [​IMG]

    bulunur.

    Yanıt: D



    ÖRNEK:

    A(1,3) noktasının y = 3x + 1 doğrusuna göre simetriği hangi noktadır?


    [​IMG]



    Çözüm:

    A dan geçen ve verilen doğruya dik olan doğru denklemi yazılır.

    Bu iki doğru denklemi kesistirilerek B noktası bulunur.

    A nın B ye göre simetriği istenen noktadır.


    [​IMG]


    O halde;

    y = 3x + 2 de eğim m = 3 A dan geçen bu doğruya dik olan doğru denklemi:


    [​IMG]


    y = 3x + 1 ile bu doğrunun kesişme noktasını bulalım.


    [​IMG]



    A nın B ye göre simetriği ise aranılan A' noktasıdır.


    [​IMG]


    bulunur.

    Yanıt: A



    ÖRNEK:

    A(3,4), B(5,3) noktaları veriliyor. x ekseni üzerindeki P(x,0) noktası için |PA| + |PB| en küçük ise x kaçtır?


    [​IMG]



    Çözüm:

    B nin x eksenine göre simetriği B' yü bulalım.

    |PB| = |PB'| dür.


    [​IMG]


    O halde

    |PA| + |PB| = |PA| + |PB'|

    bunun en kısa olması halinde |PA|+|PB'|=|AB| olur.

    O halde aranılan nokta AB' doğrusunun x eksenini kestiği noktadır.


    [​IMG]


    Yanıt: C



    Paralel iki doğru arasındaki uzaklık:


    a) Paralel doğrulardan biri üzerinde herhangi bir nokta alınır. Diğer doğruya olan uzaklığı hesaplanır. Bu uzaklık paralel iki doğru arasındaki uzaklıktır.

    b) Paralel iki doğrunun denklemleri daima,

    ax + by = c

    ax + by = c'

    biçimine getirilirler. Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık


    [​IMG]


    ÖRNEK:

    Denklemleri x – 2y = 0 ve x – 2y – 5 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?


    [​IMG]



    Çözüm:



    [​IMG]



    Yanıt: E



    ÖRNEK:

    Denklemi x (2+m) – y(1–2m) + 3m = 0 olan doğru, daima sabit bir noktadan geçmektedir.

    Bu noktadan geçen ve y = –x doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi asağıdakilerden hangisidir?

    A) 5x + 5y + 9 = 0

    B) 3x + 3y + 4 = 0

    C) x + y – 1 = 0

    D) 2x + y + 3 = 0

    E) x + y + 1 = 0


    Çözüm:

    Önce sabit noktayı bulalım:


    [​IMG]




    Aranılan doğru, bu sabit noktadan geçen ve y = –x doğrusuna paralel olan doğrudur.

    O halde, aranılan (bilgi yelpazesi.net) doğrunun eğimi m = –1 dir.


    [​IMG]




    5y + 5x + 9 = 0 bulunur.

    Yanıt: A



    ÖRNEK:

    x – |y| < 0 bağıntısını sağlayan düzlemsel taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir?


    [​IMG]



    Çözüm:

    x – |y| < 0 => x < |y| dir.

    Yani

    y > 0 => x < y

    y < 0 => x < –y dir.

    Buna göre, aranılan (x,y) ikilileri (A) seçeneğinde taralı olan bölgedir.

    Yanıt: A



    ÖRNEK:

    Denklemleri 2x + 3y – 8 = 0 ve 7x + 2y + 16 = 0 olan doğruların kesim noktasından ve koordinat baslangıcından geçen doğrunun denklemi asağıdakilerden hangisidir?

    A) 11x + 8y = 0

    B) 8x + 11y = 0

    C) x – 6y = 0

    D) 6x – y = 0

    E) 9x + 5y = 0


    Çözüm:

    İstenen doğru 2x + 3y – 8 = 0 ve 7x + 2y + 16 = 0 doğrularının kesisme noktalarından geçiyorsa, bu iki doğrunun kesisme noktalarından geçen doğru demetinin denklemi biçimindedir.

    2x + 3y – 8 + m(7x + 2y + 16) = 0

    dir. Burada m bilinmiyor. Bu doğrunun orijinden [O(0,0)] geçtiği bilindiği için denklemde x ve y yerine (0) konularak m bulunur.


    [​IMG]


    bulunur.

    Yanıt: A



    ÖRNEK:

    3x – 2y + 11 = 0 ve 2x – 3y – 6 = 0 doğrularının belirttiği açıların açıortaylarından birinin denklemi asağıdakilerden hangisidir?

    A) x – y + 1 = 0

    B) x + y – 1 = 0

    C) 3x + 2y – 2 = 0

    D) 5x + 5y + 1 = 0

    E) 5x – y + 17 = 0


    Çözüm:

    Açıortay denklemi:


    [​IMG]


    dan

    a) 3x – 2y + 11 = 2x – 3y – 6 => x + y + 17 = 0

    b) 3x – 2y + 11 = –(2x–3y–6) => 5x–5y + 5 = 0

    Ya da x – y + 1 = 0

    Yanıt: A



    ANALİTİK ÇEMBER


    Analitik düzlemde çember denklemleri ve bunların teğetlerinin denklemleri asağıda gösterilmistir.



    1) Merkezi orijinde ( , ) ve yarıçapı r olan çember denklemi: x2 + y2 = r2 dir.

    Bu çemberin üzerindeki A(x1, y1) noktasındaki teğet denklemleri de


    [​IMG]



    ÖRNEK:

    Merkezi orijinde yarıçapı 6 olan çember denklemi asağıdakilerden hangisidir?


    [​IMG]



    Çözüm:

    Merkezi orijinde yarıçapı r = 6 olan çember denklemi

    x2 + y2 = 62 den x2 + y2 = 36 bulunur.

    Yanıt: D



    ÖRNEK:

    x2 + y2 = 25 çemberi üzerinde A(x, 4) ve (x < 0) noktasındaki teğet denklemi asağıdakilerden hangisidir?

    A) –3x + 4y – 25 = 0

    B) 3x + 4y + 25 = 0

    C) 4x + 3y + 25 = 0

    D) –4x + 3y – 25 = 0

    E) 4x – 3y – 25 = 0


    Çözüm:

    x2 + y2 = 25 çemberinde y = +4 olan noktalar için x2 + 16 = 25 => x2 = 25 – 16 , x = 3 ve x = –3 bulunur.

    İstenen nokta A(–3, 4) olduğu için teğet denklemi xx1 + yy1 = r2 => –3x + 4y = 25 bulunur.

    Yanıt: A



    2) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember denklemi (x − a)2 + ( y − b)2 = r2 dir.

    Bu çember üzerindeki A(x1 y1) noktasından bu çembere çizilen teğetin denklemi:


    [​IMG]



    ÖRNEK:

    Merkezi (3, 1) ve yarıçapı r = 3 olan çember denklemi asağıdakilerden hangisidir?


    [​IMG]



    Çözüm:

    Merkezi M(a, b) yarı çapı r olan çember denklemi:

    (x–a)2 + (y–b)2 = r2 olan (x–3)2 + (y–1)2 = 32 veya çember denklemi: x2 + y2 – 6x – 2y + 1 = 0 biçiminde bulunur.

    Yanıt: B



    3) x2 + y2 + Dx + Ey + F biçimindeki iki bilinmeyenli İkinci Derece Denklemleri:


    D2 + E2 – 4F > 0 ise bir çember gösterir. Bu çemberin merkezi


    [​IMG]




    Not – 1: D2 + E2 – 4F = 0 ise bu denklemin


    [​IMG]


    noktasının, D2+E2–4F<0 ise bu denklem hiç birsey göstermez; ifadesi Ø dır.


    Eğer D2 + E2 – 4F > 0 ise x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0 çemberi üzerinde A(x1 y1) noktasındaki teğet denklemi


    [​IMG]




    biçimindedir.


    Not–2: Bütün çember denklemlerinden teğet denklemlerini bulmak için, çember denkleminde x2 yerine

    x.x1 , y2 yerine y.y1 , (x–a)2 yerine (x–a) (x1–a), (y–b)2 yerine (y–b) (y1–b) ve x yerine


    [​IMG]




    ÖRNEK:

    x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0 çemberinin merkezi M(a, b) ve r yarıçapı hangisidir?


    [​IMG]



    Dikkat: Bu soruyu tam kareler biçimine getirerek de çözebilirsiniz.

    x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0 her iki yana 32 + 22 ekleyerek

    x2 + 6x + 9 + y2 – 4y + 4 – 12 = 9 + 4

    (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 bulunur.

    Buradan merkezin M(–3, 2) , r = 5 olduğu görülür.



    ÖRNEK:

    x2 + y2 + 6x – 8y – 15 = 0 çemberi üzerindeki A(3,


    2) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

    A) 3x – y – 7 = 0

    B) 3x + y – 7 = 0

    C) 3x + y = 0

    D) x = 3y + 7 = 0

    E) x – 3y – 7 = 0


    Çözüm:


    [​IMG]


    Teğet denkleminden

    3x + 2y + 3 (x + 3) – 4 (y + 2) – 15 = 0

    6x – 2y – 14 = 0 ® 3x – y – 7 = 0 dır.

    Yanıt: A



    Çember denklemlerinde kullanacağımız bazı kolaylıklar


    1) Bir çemberle bir doğrunun ya da iki çemberin kesisme noktalarını bulmak için onların ortak çözümü yapılır. (Ortak çözüm denkleminde [​IMG] = 0 ise teğet, [​IMG] < 0 ise kesişmezler. [​IMG] > 0 ise iki noktada kesişirler.)


    2) x2 + y2 = R2 çemberlerine dışındaki P(x1 , y1) noktasından çizilen teğetlerin uzunluğu:


    [​IMG]


    dir. (teğet uzunluğunu bulmak için, noktanın koordinatları genel çember denkleminde yerine konularak karekökü alınır.)



    ÖRNEK:

    x2 + y2 = 25 çemberine P(7, 1) noktasından çizilen teğetin uzunluğu kaç birimdir?


    [​IMG]



    Çözüm:

    x2 + y2 = 25 çember denklemi x2 + y2 – 25 = 0 genel biçime getirilerek


    [​IMG]


    bulunur.

    Yanıt: B


    4) İki çemberin kesişme noktalarından geçen doğru denklemi, onların denklemleri taraf tarafa çıkarılarak bulunacak birinci dereceden denklemdir.


    Not: İki çembere çizilen teğetlerin eşit olduğu noktaların geometrik yeri de aynı doğrudur.



    ÖRNEK:

    x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0 ve 2x2 + 2y2 – 3x + 5y – 28 = 0 çemberlerinin kesisme noktalarından geçen doğru denklemleri asağıdakilerden (bilgi yelpazesi.net) hangisidir?

    A) x + y + 2 = 0

    B) x – y + 2 = 0

    C) 5x + y – 2 = 0

    D) 5x + y + 2 = 0

    E) 5x – y + 2 = 0


    Çözüm:

    1. çember denkleminin 2 ile çarptıktan sonra taraf tarafa çıkaralım.


    [​IMG]


    doğru denklemi bulunur.

    Bu da 5x + y + 2 = 0 doğrusudur.

    Yanıt: D



    5) Bir çembere çizilen iki teğetin değme noktalarını birlestiren doğruya değme kirisi denir.


    [​IMG]



    Değme kirisinin denklemi: Teğetlerin kesisme noktası P(x1 y1) ise değme kirisinin denklemi tıpkı teğet denklemi gibidir.


    Örneğin, x2 + y2 = r2 çemberine P(x1 y1) den çizilen teğetlerin değme kirisinin denklemi x x1 + y y1 = r2 biçimindedir.



    ÖRNEK:

    x2 + y2 = 20 çemberi ile 3x – 2y = 5 doğrusu veriliyor.

    Doğrunun çemberi kestiği noktalardan çizilen iki teğetin kesisme noktası asağıdakilerden hangisidir?

    A) (12, 8)

    B) (–8, 12)

    C) (2, –8)

    D) (–12, –8)

    E) (–8, –12)


    Çözüm:


    [​IMG]


    Verilen doğru değme kirisi olacağı için denklemi P(x1 y1) e göre, x x1 + y y1 = 20 olmalıdır. Halbuki doğru denklemi 3x – 2y = 5 olarak verilmistir.

    Bunu 4 ile genisletirsek 12x – 8y = 20 bulunur. Buradan P noktasının koordinatları (12, –8) olduğu görülür.

    Yanıt: C



    6) İki çemberin kesişme noktalarından geçen tüm çemberlerin demetinin denklemi:



    Çember denklemleri:


    [​IMG]




    m değiştikçe bulunan çemberler bu iki çemberin kesisme noktaları A ve B den geçen çemberlerdir.


    [​IMG]




    ÖRNEK:

    x2 + y2 + 4x – 3y – 17 = 0 ve x2 + y2 – 6x – 6 = 0 çemberlerinin kesisme noktalarından ve P(1,2) noktasından geçen çemberin denklemi nedir?


    [​IMG]



    Çözüm:

    x2 + y2 + 4x – 3y – 17 + m(x2 + y2 – 6x – 6) = 0 biçimindedir.

    m yi bulalım:

    P(1, 2) bu çemberin üzerinde olduğu için bu denklemi sağlar.

    O halde;

    1 + 4 + 4 – 6 – 17 + m (1 + 4 – 6 – 6) = 0

    –14 – 7m = 0 => m = –2

    dir.

    Aranılan denklem:


    [​IMG]


    Yanıt: C



    ÖRNEK:

    x2 + y2 = 9 çemberine

    x2 + y2 – 10x + 24y + m + 9 = 0 çemberi dıştan teğet ise m kaçtır?

    A) 55

    B) 60

    C) 70

    D) 80

    E) 79


    Çözüm:


    [​IMG]


    x2 + y2 = 9 çemberi merkezi orijinde ve yarıçapı 3 tür.

    x2 + y2 – 10x – 24y + m + 9 = 0 çemberinin merkezi


    [​IMG]


    den M(5, 12) dir. Çemberler dıstan teğet

    olacakları için |MO| = R + 3 dür.


    [​IMG]



    O halde, m + 9 = 69 dan m = 60 bulunur.

    Yanıt: B



    ÖRNEK:

    x = 1 ve x = 3 doğrularına teğet olan ve merkezi y = 2x – 3 doğrusu üzerinde bulunan çember denklemi aşağıdakilerden hangisidir?


    [​IMG]



    Çözüm:


    [​IMG]


    Çember x = 1 ve x = 9 doğrularına teğet olacağı için çapı 9 – 1 = 8 birimdir. Yani r = 4 tür.


    [​IMG]


    Merkezin ordinatı: y = 2x – 3 = 2.5 – 3 = 7 dir.

    Merkezi ve yarıçapı bilinen çember denkleminden (x – 5)2 + (y – 7)2 = 16 olarak bulunur.



    ÖRNEK:


    [​IMG]


    doğrusuna ve y eksenine teğet olan çember veriliyor.

    |OT| = 5 ise bu çemberin (bilgi yelpazesi.net) denklemi asağıdakilerden hangisidir?


    [​IMG]



    Çözüm:

    |OD| = |OT| = 5 tür, M merkezinin y si 5 ; x i ise r yarıçaplarıdır.


    [​IMG]

    Yanıt: A



    ÖRNEK:

    x2 + y2 + 6x + 4y – 5 = 0 ve x2 + y2 – 2x + 2y – 7 = 0 çemberlerine P den çizilen teğetler esit olduğuna göre P noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir?

    A) 4x – y + 1 = 0

    B) 4x + y + 1= 0

    C) 12x + y + 1 = 0

    D) 2x – y + 1 = 0

    E) 4x + 2y + 1 = 0


    Çözüm:

    P den çizilen teğetler esitse P noktasının geometrik yeri kesisme noktalarından geçen doğru denklemidir.


    [​IMG]


    Bu da çember denklemleri taraf tarafa çıkarılarak bulunur.


    [​IMG]


    sadelestirerek 4x + y + 1 = 0

    Geometrik yer denklemi: 4x + y + 1 = 0 olarak bulunur.

    Yanıt: B



    ÖRNEK:

    B(–2, 1) noktasından geçen ve eksenlere teğet olan çember denklemi asağıdakilerden hangisi olabilir?


    [​IMG]

    r = 1 veya r = 5.

    O halde problemin iki cevabı vardır.

    1) (x + 5)2 + (y – 5)2 = 15

    2) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 1

    bulunur.

    Yanıt: A



    ÖRNEK:

    A(5, 1) noktasının y – ax – 2 = 0 doğrularına göre simetrikleri olan noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?


    [​IMG]


    Yanıt: C
    31 Aralık 2016
    #1
  2. Koordinat Sistemi, Analitik Düzlem, Nokta, Doğru, Analitik Çember, Özellikleri Cevapları

soru sor

Koordinat Sistemi, Analitik Düzlem, Nokta, Doğru, Analitik Çember, Özellikleri

Alakalı Aramalar:

  1. birbirinden farklı 3 doğrunun en fazla kesişme noktası nasıl bulunur

    ,
  2. Yana 6Y.0

    ,
  3. kordinat sistemi özelikleri