Karmaşık (Kompleks) Sayılar, Özellikleri

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, ●ŚOП İKλZ● üyesi tarafından 31 Aralık 2016 tarihinde yazılmıştır. Karmaşık (Kompleks) Sayılar, Özellikleri hakkında bilgi ve tartışmalar.

  1. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    Karmaşık (Kompleks) Sayılar, Özellikleri

    KARMAŞIK SAYILAR, KOMPLEKS SAYILAR, KARMAŞIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


    A)Sanal Sayı Kavramı


    Sıfırdan farklı her reel sayının karesi pozitiftir, negatif olamaz. Sıfırın karesi sıfırdır.


    Biz sanal olarak karesi negatif olan bir sayı düşünelim.


    Örneğin karesi -1 olan bir sayı alırsak bu sayı bir sanal sayıdır. Bu sayıyı 'i' harfi ile gösterirler.


    O halde [​IMG] dir.

    Buna göre i sanal sayısı karesi -1 olan bir sayıdır.( [​IMG] )

    Bu gösterimde

    [​IMG]


    Dikkat edilirse i'nin kuvvetleri daima {i,-1,-i,1}dir.

    [​IMG]


    [​IMG]değerinin hangi eleman olduğunu şöyle buluruz: i nin üssü olan n sayısını 4'e böleriz.


    Eğer:


    kalan 0 ise sonuç 1


    kalan 1 ise sonuç i


    kalan 2 ise sonuç -1


    kalan 3 ise sonuç -i dir.



    Sanal Sayılarla İşlemler


    Toplama, çıkarma ve çarpmada (i)'yi bir harf gibi alır, sonuçta (i)'nin bir kuvveti varsa değerini yazarak işlemi yaparız.


    Örneğin:


    a)2i+3i-5i+6i=6i


    b)3i-5i+i=-i


    c) [​IMG]



    Örnek= [​IMG] olduğuna göre

    [​IMG]


    Cevap= 127 yi 4 e bölersek 3, 445 i bölersek 1, 1997 yi bölersek 1 kalır yani:


    [​IMG]

    bulunur.



    B)Karmaşık Sayılar


    [​IMG] olmak üzere a+bi=z sayısına karmaşık sayı denir.


    [​IMG]

    ifadesinde katsayılar reel sayı, üsler doğal sayı olduğu zaman P(x) bir polinom olur.


    Her P(x) polinomu için [​IMG] alındığında P(i) nin daima a+bi olacağını görürüz.


    [​IMG]


    Karmaşık sayılar kümesi C harfi ile gösterilir.


    [​IMG]


    Bir karmaşık sayı iki kısımdan oluşur. Bunlar reel kısım ve sanal kısımlardır.


    z=a+bi karmaşık sayısında (bilgi yelpazesi.net) a reel kısım, b ise sanal kısımdır.


    Reel kısım Re(z)=a, sanal kısım İm(z)=b biçiminde yazılarak gösterilir.



    Karmaşık Sayıların Eşitliği


    [​IMG]

    yani a+bi=x+yi ise a=x,b=y dir.


    Eşit karmaşık sayılarda reel kısımlar bir birine, sanal kısımlar birbirine eşittir.



    Karmaşık Sayının Eşleniği


    Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmın işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıdır. Eşlenik sayı, esas karmaşık sayının üstüne bir çizgi çekilerek belirlenir.

    z=a+bi ise eşleniği [​IMG] dir.


    3+2i nin eşleniği 3-2i dir.



    KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER


    Karmaşık sayılarla, toplama çıkarma ve çarpma işlemleri polinomlarda olduğu gibi yapılır.


    Toplama İşlemi


    Toplamada, reel kısımlar toplanıp reel kısım; sanal kısımlar toplanıp sanal kısım bulunur.


    Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı reel ve sanal kısımları 0(sıfır) olan karmaşık sayıdır.


    Bir z karmaşık sayısının toplamaya göre tersi -z dir.


    Örnek=



    z'=3-2i , z^=5+7i , z^^=-6+3i olduğuna göre z'+z^+z^^ toplamı nedir?


    Cevap=

    (3-2i)+(5+7i)+(-6+3i)ise

    3+5-6=2 ve -2i+7i+3i=8i dir.

    =2+8i



    Çıkarma İşlemi


    İki karmaşık sayının farkı, için çıkan sayının toplamaya göre tersi ile toplamı yapılır, yani çıkan sayının işaretleri değiştirilerek toplama yapılır.


    Örnek=



    z=5+2i ve z'=4-3i ise z-z'=?


    Cevap=



    z-z'=(5+2i)-(4-3i)

    =5+2i-4+3i

    =1+5i bulunur.



    Çarpma İşlemi


    Polinomlarda olduğu gibi yapılır. i nin kuvvetleri i türünden hesaplanarak çarpma işlemi yapılır.


    Örnek=

    z=3+4i ve z'=2-3i ise

    z.z'=(3+4i).(2-3i)

    =6-9i+8i+12

    =6-9i+8i+12

    =18-i bulunur.



    Bölme İşlemi


    Pay ve payda, paydanın (bilgi yelpazesi.net) eşleniği ile çarpılarak yapılır.

    [​IMG]


    Örnek=

    [​IMG]

    olduğuna göre 3+2i işleminin sonucu nedir?


    Cevap=

    3+2i = (3+2i).(5+3i) = 15+9i+10i+6[​IMG]

    5-3i (5-3i).(5+3i) 25-9i


    =15+9i10i-6 = 9+19i bulunur.

    25+9 34



    Eşlenik İfadelerde Özellikler


    [​IMG]



    MUTLAK DEĞER



    [​IMG]


    KARMAŞIK DÜZLEM


    z=a+bi karmaşık sayısında a ve b gerçek sayılardır. Karmaşık sayılarda daima Reel kısım önce, sanal kısım sonra yazılır.


    Bu tür yazma biçimi, karmaşık sayıları reel sayı ikilileri ile gösterme kolaylığı sağlar.


    z=a+bi karmaşık sayısı z=(a,b) şeklinde yazılabilir.


    Örneğin



    z=(3,-2) karmaşık sayısı z=3-2i dir.


    Bunu analitik düzlemde düşünebiliriz. Bu durumda ilk sayı reel kısmı, ikinci sayı sanal kısım olarak alınınca bir nokta belirler.


    Bu gösterimde yatay eksen reel ekseni, düşey eksen de sanal ekseni belirtir.


    [​IMG]


    Karmaşık sayının karmaşık düzlemde nokta olarak gösterilmesine, karmaşık sayının karmaşık düzlemdeki görüntüsü denir.


    Bir karmaşık düzlemde her nokta bir karmaşık sayı, her karmaşık sayı da bir noktayı gösterir. Yani karmaşık düzlemdeki noktalar ile bütün karmaşık sayılar bire bir eşlenebilirler.


    Aşağıda bazı karmaşık sayıların (bilgi yelpazesi.net) karmaşık düzlemde görüntülerini görebiliriz:


    z = 3-6i z^' = 5+i


    z' = -4+6i z'^ = 3i


    z'' = -4-5i z^^ = 1



    Karmaşık düzlemde eşlenik sayı: Sayının görüntüsünün X eksenine göre simetriği o sayının eşleniğidir. Orijine göre simetriği ise sayının negatifidir.


    [​IMG]



    KARMAŞIK DÜZLEMDE MUTLAK DEĞER


    Karmaşık düzlemde bir sayının orijine uzaklığına, o noktaya karşılık gelen karmaşık sayının mutlak değeri denir.

    [​IMG] dir.


    [​IMG]


    [z]=5 eşitliği z noktalarının orjine olan uzaklığını sabit ve 5 birim olduğunu gösterir. O halde bu z noktaları, merkezi orijin ve yarıçapı 5 olan bir çember üzerindedir.


    [​IMG]



    Tanım olarak [​IMG] [z]=r eşitliği merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemini gösterir.


    [​IMG]


    [​IMG]ise [​IMG] nin anlamı merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çember ve bu çemberin iç bölgesini gösterir.


    [​IMG]

    [​IMG] ise çemberin sınırladığı iç bölgeyi gösterir. Çember dahil olmadığı için nokta nokta çizilir.


    [​IMG]


    [​IMG] ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çemberin dış bölgesini gösterir.


    [​IMG]



    [​IMG] ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çember ve içi hariç dış bölgenin tümünü gösterir.


    [​IMG]


    Örnek=


    z=x+yi ve z'=-1+4i ise [z]=[z'] olduğuna göre z noktalarının geometrik yeri nedir?

    a)Merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çember.

    b)Merkezi orijinde yarıçapı 3 olan çember.

    c)Merkezi orijinde yarıçapı 4 olan çember.

    d)(-3,5)

    e)0


    Cevap=

    [z]=[-3+4i] ise [​IMG] bu da [z]= 5 eşitliğidir. Yani (bilgi yelpazesi.net) merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çemberdir.

    Yanıt A şıkkı.


    Örnek=

    [​IMG] eşitsizliğini sağlayan noktalar karmaşık düzlemde bir bölge oluşturur. Bu bölgenin alanı kaç br karedir?


    Cevap


    [​IMG]


    Bu bölge merkezleri orijinde ve yarıçapları 2 ve 4 birim olan iki çemberin sınırladığı bölgedir, alanı:

    [​IMG]



    BİR KARMAŞIK SAYININ SANAL SAYI İLE ÇARPIMI


    [​IMG]ve z=x+yi olsun.


    i.z=i(x+yi) bu da iz=-y+xi olur.


    iz=-y+xi olduğu için (-y,x) olur ve z noktası etrafında pozitif yönde 90 derece dönünce iz noktasının bulunacağı görülür.


    Örnek=

    a=(5,2) noktası orijin etrafında negatif yönde 90 derece döndürülürse hangi nokta bulunur?


    Cevap=

    Negatif yönde 90 derece döndürmek için -i ile çarpılır.

    (5,2)=5+2i dir.

    -i(5+2i)=-5i-2[​IMG] = 2-5i

    O halde A'=(2,-5) bulunur.



    KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASI UZAKLIĞIN BULUNMASI


    Karmaşık düzlemde iki nokta arası uzaklığın bunların farkının mutlak değeridir.

    [​IMG]


    Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri düzlemde bir çemberdir.


    Buna göre merkezi z'=a+bi ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemi [z-z']=r biçiminde olur.


    A={z:[z+2i] [​IMG]2 } gibi ifadelerde A=(0,-2) şeklindedir ve yarıçapı 2 dir.


    B={z:[z+2] [​IMG]3 } ise B=(-2,0) şeklindedir ve yarıçapı 3 dür.



    Örnek=

    z=4-7i ve z'=1-3i sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüleri arası uzaklık nedir?


    Cevap=

    d=[z-z']=[(4-7i)-(1-3i)]

    =[(4-1)+(-7+3)i]=[3-4i]

    = [​IMG] = 5 birim


    Örneğin\Merkezi z'=2+3i ve yarıçapı 4 olan bir çember denklemi:

    [z-(2+3i)]=4 biçimindedir.



    KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL KORDİNATLARLA GÖSTERİMİ


    z=a+bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemde orijine birleştiren doğru parçasının [Oz]=r=[z] olur. Oz doğrusunun reel eksenle yaptığı yönlü açı da Q olsun. Karmaşık düzlemde bir r uzunluğu ve Q açısı verildiğinde z noktasının yeri bulunur.


    Karşıt olarak [​IMG] bir z noktası verildiğinde r sayısı ve en az bir Q açısı bulunabilir. Q açısı [​IMG] açılarından biri olabilir. Yani bu açılardan her biri z nin üzerinde bulunduğu ışını belirtir. Bu ışın üzerinde r kadar alınarak z noktası bulunmuş olur.


    z=0 sayısı için Q belirsizdir. Bundan (bilgi yelpazesi.net) dolayı r=0 almakla karmaşık düzlemde z=0(orijin) notasını göstermiş olur.

    [​IMG]




    ARGÜMENT


    Bir karmaşık sayı için reel eksenin pozitif yönü ile yaptığı Q açısına o karmaşık sayının argümenti denir ve

    Arg z=Q biçiminde gösterilir.0 [​IMG] Q <360 arasında alınırsa buna z karmaşık sayısının esas argümenti denir ve Arg z=Q ile gösterilir.

    Eğer z nin argümentini genel argüment

    [​IMG]

    ile gösterilir.


    Esas argümente kısaca argüment denir.



    BİR KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL KORDİNATLARDA YAZILMASI


    z karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarda yazılışı z=r(cosQ+i sinQ) şeklindedir.

    r ise [​IMG] dir.


    z=r(cosQ+i sinQ) da aradaki işaret daima + olacağına göre bu yazılışı cos den (C), sin den (S) harfi alınarak kısaca r(cosQ+i sinQ)=r cisQ biçiminde yazılır.



    KUTUPSAL KORDİNATLARDA İŞLEMLER


    Çarpma İşlemi


    z=r(cosQ+i sinQ)

    z'=r'(cos@+i sin@) olduğuna göre


    z.z'=r.r'(cosQ+i sinQ).(cos@+i sin@) buradan da

    z.z'=r.r'(cos(Q+@)+i sin(Q+@)) bulunur.


    İki karmaşık sayının çarpımında mutlak değerler çarpılır, argümentler toplanır.



    Bölme İşlemi


    z=r(cosQ+i sinQ)

    z'=r'(cos@+i sin@) ise


    z = r =(cos(Q-@)+i sin(Q-@)) olarak bulunur.

    z' r'


    [z] =r ve Arg(z)=Q

    [z']=r' ve Arg(z)=@ olduğuna göre


    z = r Arg(z ) = Q-@ olur.

    z' r' (z')



    KARE VE KAREKÖK


    z nin kare ve kareköklerini bulmak için De Moivre formülü kullanılır.

    [​IMG]

    bulunur.

    n=p içinde geçerlidir.

    q


    Dikkat edilmesi gereken nokta n=p olduğu zaman argüment, genel

    q

    argüment alınmalıdır. Çünkü k değeri değiştikçe başka sayılar da bulunur.
    31 Aralık 2016
    #1
  2. Karmaşık (Kompleks) Sayılar, Özellikleri Cevapları

  3. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    KARMAŞIK SAYILAR, KOMPLEKS SAYILAR, KARMAŞIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (2) (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


    GİRİŞ


    Karmaşık sayılar alternatif akım devrelerinin çözümünde çok kullanılırlar. Bu sayıların alternatif akım devrelerce kullanılması ile vektörel işlemler cebirsel işlem halin dönüşür.


    Bu bölümde karmaşık sayılar tanıtılacak ve çeşitli işlemlerin nasıl yapılacağı gösterilecektir. Vektörleri bilinen karmaşık büyüklükleri cebirsel veya skaler büklüklerden ayırmak için sembol harfi üzerinde bir vektör işareti, ya bir çizgi yada bir nokta kullanılır. Örneğin bir A karmaşık sayısı,

    [​IMG]

    şeklinde gösterilir


    A-SAYILARIN TANIMI


    1-Gerçel sayılar


    Gerçel (reel) sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılardan meydana gelir. Yatay eksen üzerinde alınan gerçel sayılar ekseninin her noktasında bir gerçel sayı vardır.(Şekil 7-1). 1; 2; 3,5; ;-3; -27 gibi sayılar gerçel sayılardır.


    [​IMG]


    Şekil 7 -1 Gerçel sayılar ekseni


    2-Sanal sayılar


    Negatif gerçel sayıların kökleri sanal (imajiner , hayali) sayılardır.

    [​IMG]

    Dersek ,

    [​IMG]

    olur. Şu halde sanal sayılar J sembolü ile birlikte bulunurlar. Sanal sayılar düşey eksen üzerinde gösterilir. ( (Şekil 7-2).

    [​IMG]


    Şekil 7 -2: Sanal sayılar ekseni


    Matematikte “i” ile gösterilen sanal sayılar, elektrikte akım ile karışmaması için “j” ile gösterilir. “j” nin kuvvetlerinin aşağıdaki gibi olacağını kolaylıkla çıkarabiliriz.


    [​IMG]



    B- KARMAŞIK SAYILAR


    Karmaşık (kompleks) sayılar, gerçel ve sanal sayılardan oluşmuştur.Yani bir karmaşık sayının içinde hem gerçel sayı ve hem de sanal sayı vardır.Karmaşık sayılara örnek olarak, 2+j3 ; 3-j4 ; -5+j2 ; -3-j3 sayılarını gösterebiliriz. Bu karmaşık sayılar, gerçel ve eksenin birlikte bulunduğu Şekil 7 -3 de gösterilmiştir.


    Sanal sayılar ekseni

    [​IMG]

    Şekil 7-3 Karmaşık sayılar


    Bir sayının başlangıç noktası ile birleşmesiyle o sayı temsil ettiği vektör elde edilir. Şekil 7-4 de A gerçel sayısının, B sayısının ve C ile D karmaşık sayısının temsil ettikleri vektörler gösterilmiştir. A gerçel sayısının, sanal kısmı olmayan bir (bilgi yelpazesi.net) karmaşık sayı gibi düşünebiliriz. Aynı şekilde B sanal sayısını da gerçel kısmı olmayan bir karmaşık sayı olarak düşünebiliriz. A,B,C ve D karmaşık sayılarına A,B,C,D vektörleri de denir.


    Sanal sayılar ekseni


    [​IMG]


    Şekil 7 –4 : Sayılar temsil ettikleri vektörler



    KARMAŞIK SAYILARIN GÖSTERİLİŞ ŞEKİLLERİ


    Karmaşık sayılar veya vektörler üç şekilde gösterilir. Bular aşağıda incelenmiştir.


    1- Dik bileşenler şeklinde gösterilişi:


    Bu gösteriliş şeklinde karmaşık sayı veya vektör yatay ve düşey eksen üzerindeki izdüşümleri ile gösterilir. Bu izdüşümleri vektörün birbirine dik olan birleşenidir.


    [​IMG]

    Şekil 7-5 Bir vektörün dik bileşenler şeklinde gösterilmesi


    Şekil 7-5 deki A vektörünün yatay eksen üzerindeki bileşeni a ve düşey eksen üzerindeki bileşeni b olduğuna göre A vektörü,


    A=a+jb


    Şeklinde gösterilir. a bileşeni gerçel sayılar ekseni üzerinde olduğundan gerçel bir sayıdır. b bileşeni ise sanal ekseni üzerinde bulunduğundan, sanal bir sayıdır. Bunun için b bileşeni j ile birlikte gösterilir.


    Şekil 7 –4 deki vektörlerde dik bileşenler şeklinde gösterilmiştir


    Dik bileşeninden vektörün büklüğünü(mutlak değerini) ve yatayla yaptığı açıyı bulabiliriz. Şekil 7 –5 deki A vektörün büyüklüğü,


    [​IMG]


    veya yatay yaptığı açı ise


    [​IMG]


    [​IMG]


    Diğer taraftan Cos[​IMG] =(a/A) ve sin [​IMG] =(b/A) olduğundan, a ve b birleşeni için,


    a=A. cos[​IMG]


    b=A. sin[​IMG] yazılır.


    Bu ifadeler, Formül 7 –1 de yerine yazılırsa, A vektörü için,


    A=a+jb=A. Cos[​IMG] +j. A. Sin[​IMG] veya A=A(Cos[​IMG] +j sin[​IMG])


    Elde edilir. Burada A, vektörün büyüklüğü ya da vektörün yatay yaptığı açıdır.



    2 – Kutupsal gösteriş


    Bu gösteriş şeklinde vektör, büyüklüğü ve pozitif yatay eksenle yaptığı açı ile gösterilir. Şekil 7-6 da A vektörün büyüklüğü (mutlak değeri ) A veya pozitif yatay eksenle yaptığı açı - olduğuna göre kutupsal gösterişi,


    [​IMG]


    Bu gösterişte A ve açı işareti içindeki “-“ birbiri ile çarpma şeklinde düşünülmelidir. Formül 7-6 sadece bir gösteriş şeklidir.


    [​IMG]


    Şekil 7- 6: Bir vektörün kutupsa şeklinde gösterilmesi


    Şekil 7-7 de A, B, C, ve D vektörleri kutupsa şekilde gösterilmiştir. Bu vektörlerin açılarının pozitif yatay eksenden itibaren alındığına dikkat ediniz.

    [​IMG]

    Şekil 7- 7


    Bundan dolayı pozitif yatay eksene “başlangıç ekseni” denir. Ayrıca saat ibresi hareketinin ters yönünde oluşan açılar pozitif, saat ibresi hareketi yönünde oluşan açılarda negatif işareti gösterilir.


    Vektörün yatay ve düşey eksenler üzerindeki bileşenleri (gerçel ve sanal bileşenleri) yine Formül 7-4 den bulunur.



    3-Üstel gösteriliş:


    Bu gösteriliş şeklinde yine vektörün büyüklüğü açısı belirtilir. Şekil 7-8 deki A vektörünün üstel şeklinde gösterilişi,



    [​IMG]


    Burada (bilgi yelpazesi.net) e=2,718 olup, tabii (veya neper) logaritma tabanıdır.


    Şekil 7-8:Bir vektörün üstel şeklinde gösterilmesi


    Üstel gösteriliş şeklinin basitleştirilmiş hali kutupsal gösteriliştir. Bunun için biz karmaşık sayıların veya vektörlerin üstel gösteriliş şeklini kullanmayacağız.



    C-“-1” VE “j” ÇARPANLARI


    Şekil 7-9 daki A vektörü pozitif yatay eksen (başlangıç ekseni) üzerindedir. Eğer bu A vektörünü -1 ile çarparsak, -A elde edilir ki bu vektör negatif yatay eksen üzerindedir.


    [​IMG]

    Şu halde -1 ile çarpılan vektörler 180[​IMG] döndürülmüştür. Şimdi de A vektörünün j ile çarpalım. Vektör, jA olacaktır. Bu vektörde pozitif düşey eksen üzerinde bulunacağından, A vektörüne göre saat ibresi hareketini ters yönünde 90[​IMG] döndürülmüştür. Eğer A vektörü –j ile çarpılırsa, -jA vektörü elde edilir ki bu vektörde negatif düşey eksen üzerindedir. Buradan da –j ile çarpılan bir vektörün saat ibresi hareketi yönünde 90[​IMG] döndürüleceği anlaşılır.


    Burada -1 ve j’nin bir yönlendirici olarak yaptıkları görevi gösterdik



    D –KRMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ


    Dik bileşenler şeklinde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işareti değiştirilerek elde edilir. A karmaşık sayısı ve bunun eşleniği olan A sayının sırsıyla,


    A=a+ jb

    A [​IMG] =a+ jb dır.


    A=2-j3 ise, eşleniği A [​IMG] =2+j3 dür. B=-4+j2 ise eşleniği B [​IMG] =-4-j2 dır.


    Kutupsal şekilde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği ise, açının işareti değiştirilerek bulunur. A sayısı ve bunun eşleniği olan A [​IMG] sayısı sırasıyla,



    [​IMG]



    E-DİK BİLEŞEN VE KUTUPSAL GÖSTERİLİŞLERİN BİRBİRİNE CEVRİLMESİ


    Dik bileşenler bir vektör kutupsa şekille ve kutupsal şekildeki bir vektör de dik bileşenler şekline çevrilebilir. Dik bileşenler şeklindeki A=a+jb vektörünün, kutupsal A=A / [​IMG] vektörüne çevrilmesi için A büyüklüğü ve [​IMG] açının a ve b cinsinden bulunması gerekir. A büyüklüğü Formül 7-2 de ve yatayla yaptığı [​IMG] açısında Formül 7-3 de verilmişti.


    Buradan,

    [​IMG]

    Bu formül dik bileşenler şeklinin kutupsal şekle çevrilmesinde kullanılır.


    Kutupsal şekildeki A=A / [​IMG] vektörü, dik bileşenler şeklindeki A=a+jb


    Vektörüne çevirmek için, a ve b bileşenleri A ve [​IMG] cinsinden bulunmalıdır. Formül 7-4 de a ve b bileşenleri A ve [​IMG] cinsinden verilmiştir. Buradan;


    [​IMG]yazılır. Bu formül kutupsal şeklin dik bileşenler şekline çevrilmesinde kullanılır.


    Örnek 7-1: Z=3-j4 vektörünü kutupsal şekle çeviriniz.


    Çözüm: formül 7-8 kullanarak,

    [​IMG]

    bulunur. Burada negatif açıların tanjantının da negatif olacağı unutulmamalıdır.


    Örnek 7-2:

    [​IMG]vektörünün dik bileşenler şekline çeviriniz.


    Çözüm: formül 7-9 kullanarak,

    [​IMG]

    ve

    [​IMG]

    bulunur. Burada negatif açıların kosinüslerin pozitif, sinüslerin ise negatif olduğu unutulmamalıdır.



    F – KARMAŞIK SAYILARIN DÖRT İŞLEMİ


    1- Toplama Ve Çıkarma:


    Toplama ve çıkarma işlemi yalnız dik bileşen şeklinde gösteriliş ile mümkündür. Kutupsal şekilde toplama ve çıkarma işlemi yapılmaz. Kutupsal şekil ancak dik bileşen şekline çevrilerek toplanabilir veya çıkarılabilir.


    Dik bileşenle şeklindeki vektörlerin toplama işleminde, gerçel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. A=a+jb ve B=c-jd ise, bunların toplamı


    A+B=(a+c)+j( b-d)


    olur. Çıkarma işlemi de toplama işlemine benzer. Yukarıdaki A ve B vektörlerinin farkı,


    A-B=(a+jb)-( c-jd)=(a-c)+j(b+d)


    Örnek 7-3: A=2+j5 ve B=4-j2 vektörlerin toplamını bulunuz.


    Çözüm: A+B=(2+j5)+(4-j2)=(2+4)+j(5-2) =6+j3 olur.


    Şekil 7-10 da A ve B vektörleri ile bunların toplamları gösterilmiştir. A ve B vektörler paralel kenar yöntemi ile toplanınca yine (bilgi yelpazesi.net) aynı toplamın bulunacağına dikkat ediniz.

    [​IMG]

    şekil 7-10


    Örnek 7-4:

    [​IMG]


    Çözüm: çıkarma işleminin yapıla bilmesi için önce her birini dik bileşen şekline çevirelim.

    [​IMG]


    Şimdi çıkarma işlemi,

    U[​IMG] -U[​IMG] =(35,35+j35,35)-(15+j25,98)

    =35,35+j35,35-15-j25,98

    =20,35+j9,37 olarak elde edilir.



    2- Çarpma:

    Dik bileşen şeklindeki gösterişe çarpma cebir kuralına göre yapılır.

    A=a+jb ve B=c-jd İse A ile B nin çarpımı

    A.B=(a+jb).(c-jd)=ac-jad+jbc-j[​IMG] bd

    Ve j=-1olduğunden,

    A.B=(ac+bd)+j(bc-ad) olur.


    Kutupsal gösterişte çarpma işlemi, büyüklüklerin çarpımı ve açıların toplamı ile gerçekleştirilir.


    [​IMG]


    Örnek 7-5: I=2+j3 ve Z=4+j2 dır. I.Z yi bulunuz.

    Çözüm: I.Z=(2+j3).(4+j2)=8+j4+j12+j[​IMG] 6

    =2+j16


    [​IMG]



    3- Bölme:


    Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayıların bölünmesi işleminde payda gerçel duruma getirilmelidir. Bunun için paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Bundan sonra bölme işlemi yapılır. A=a+jb ve B=c-jd ise A nın B ye bölümü,

    [​IMG]


    Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların bölme işlemi daha kolaydır. Büklükleri bölünür ve paydanın açısı, payın açısından (bilgi yelpazesi.net) çıkarılır.


    [​IMG]


    Örnek 7-7: U=36+j12 ve Z=8-j4 dür. U/Z i bulunuz.


    Çözüm:

    [​IMG]


    Örnek 7-8:

    [​IMG]

    K/L değerini bulunuz.


    Çözüm:

    [​IMG]



    KARMAŞIK SAYILARIN ALTERNATİF AKIM DEVRELERİNE UYGULANMASI


    Sinüsel alternatif büyüklükleri vektörle gösterilmiştir. Bunların işlemlerinde vektörel işlemlerin olduğunu biliyoruz. Karmaşık sayıların kullanılması ile vektörel işlemler, cebirsel işlemler şeklinde düşünülür.


    Bundan dolayı karmaşık sayılar, alternatif akım devrelerinde büyük kolaylık sağlar. Doğru akım devrelerine uygulanan bütün kural ve kanunlar aynı şekilde alternatif akım devrelerine uygulanabilir.
    31 Aralık 2016
    #2
soru sor

Karmaşık (Kompleks) Sayılar, Özellikleri