Fonksiyonlar, Çeşitleri Ve Özellikleri

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, ●ŚOП İKλZ● üyesi tarafından 30 Aralık 2016 tarihinde yazılmıştır. Fonksiyonlar, Çeşitleri Ve Özellikleri hakkında bilgi ve tartışmalar.

  1. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    Fonksiyonlar, Çeşitleri Ve Özellikleri

    FONKSİYONLAR, FONKSİYONLARIN ÇEŞİTLERİ, FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)



    Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:



    Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:



    1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;



    2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.



    [​IMG]

    f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2

    elemanının 1’den fazla değeri olduğu

    için fonksiyon değildir.

    [​IMG]

    Tanım kümesinde açıkta eleman

    kaldığı için fonksiyon değildir.

    f(2) = tanımsız.

    [​IMG]

    Her iki şartı da sağladığı için

    fonksiyondur.



    A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır.

    A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A [​IMG] B şeklinde gösterilebilir.

    x  A ve y B olmak üzere f : x [​IMG] y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.


    Örnek 1: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun



    Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.



    Örnek 2: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin :



    Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :

    f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan

    f (A) = {3,4,5} olur.

    Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :

    [​IMG]


    Örnek 3: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim:



    Çözüm :

    f(-1) = 2 ;

    f (0) = 1 ;

    f( 1) = 2 ;

    f( 2) = 5 olduğuna göre :

    f(A) = {1,2,5} olur.

    Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :

    [​IMG]


    Örnek 4 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

    [​IMG]

    Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen değerlerini almak gerekir.

    Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }

    Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }

    Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }



    Örnek 5 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

    [​IMG]

    Çözüm :

    Tanım kümesi = [-1,7] ;

    Değer kümesi = [-5,8] ;

    Görüntü kümesi = [-5,8] .

    Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.



    Örnek 6 : Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?

    [​IMG]

    Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.

    Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.

    Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.



    Örnek 7: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur? bilgi yelpazesi.net

    [​IMG]

    Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir. Aynı zamanda [-4,) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.

    Diğer yaklaşım ile düşünüldüğünde (- ,-4) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4,) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.





    FONKSİYON ÇEŞİTLERİ


    1. İçine fonksiyon :

    Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok) ise bu tür fonksiyonlara denir.


    Örnek 8 :

    [​IMG]


    2. Örten fonksiyon :

    Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var) ise bu tür fonksiyonlara denir.



    Örnek 9 :

    [​IMG]



    3. Bire-bir (1-1) fonksiyon :

    Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.



    Örnek 10 :

    [​IMG]

    4. Sabit fonksiyon :

    Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.



    Örnek 11 :

    [​IMG]


    5. Birim fonksiyon :

    Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.



    Örnek 12:

    [​IMG]


    Örnek 13 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ?



    Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.



    Örnek 14: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?

    [​IMG]

    Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.

    x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.



    Örnek 15: Aşağıdaki f : R [​IMG] [-4,) ne tür bir fonksiyondur ?

    [​IMG]

    Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.



    Örnek 16: Aşağıdaki f : R [​IMG] R ne tür bir fonksiyondur ?

    [​IMG]

    Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.



    Örnek 17 : Aşağıdaki f : R [​IMG] R ne tür bir fonksiyondur ?

    [​IMG]

    Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.



    Örnek 18 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?

    [​IMG]

    [​IMG]

    Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir.

    s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :

    1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;

    2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;

    3. A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).

    Örnek 19 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?



    Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A) = 3’tür. bilgi yelpazesi.net

    Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da

    [​IMG]olur.



    Örnek 20 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?



    Çözüm : 27 = 33 olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür.

    Yansıyan bağıntı sayısı ise 29-3 = 26 = 64 olur.



    Örnek 21 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?

    Çözüm : [​IMG]olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.



    6. Permütasyon fonksiyonu:

    Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir.


    Örnek 22 :



    [​IMG]

    [​IMG]

    s(A) = a olmak üzere :

    A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a !‘ dir.



    Örnek 23 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ?



    Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür.

    Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.

    Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan

    geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.



    Örnek 24 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ?



    Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür.

    Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansıyan değildir.



    Örnek 25 : Aşağıda grafiği verilen f : A [​IMG] B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .

    [​IMG]

    Çözüm : f (1) = 3 ;

    f (2) = 1 ;

    f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu

    [​IMG] şeklinde yazılabilir.


    7. Tek ve çift fonksiyonlar :

    Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;

    f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.

    Diğer bir deyişle

    başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;

    y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.



    Örnek 26: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?

    Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3

    = -sinx -3x +x3

    = -(sinx +3x -x3)

    = -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.



    Örnek 27: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?

    Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)

    = x2 + 4 -cosx

    = f(x) olduğundan çift fonksiyondur.



    Örnek 28: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?

    Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3

    = x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.



    Örnek 29: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?

    Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0

    olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.

    Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni

    hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.



    Örnek 30: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.

    Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur.

    Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur.


    8. Periyodik fonksiyonlar:

    Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.

    Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.

    Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda

    f(x+t) = f(x) [​IMG] ( x+t) - x = t olur.



    Örnek 31: f (x) = g ( 2x+3) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?

    Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.

    Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve

    ( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır

    ( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5)

    buradan t = 5/2 bulunur.

    f (x) fonksiyonunun periyodu t ise

    f (ax+b) fonksiyonunun periyodu [​IMG] olur.

    Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre

    g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.

    f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.



    Örnek 32 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,

    g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise

    h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?

    Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.



    9. Trigonometrik fonksiyonlardan

    sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2[​IMG] ;

    tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise [​IMG] ‘dir.

    Örnek 33 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?

    Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu [​IMG] ve

    sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu [​IMG]olduğundan

    f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan [​IMG] ‘ dir.


    Örnek 34 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?

    Çözüm : Ters dönüşüm formüllerinden yararlanarak

    [​IMG]

    buluruz.

    Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ;

    [​IMG]


    Örnek 35 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?

    Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan

    [​IMG]

    [​IMG]

    FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ:

    f (x) ve g (x) fonksiyonları için

    h (x) = ( f + g) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;

    h (x) = ( f - g) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;

    h (x) = ( f . g) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;

    h (x) = ( f / g) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.

    Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan

    birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi

    f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.


    KAPALI FONKSİYON FORMÜLÜ TANIMI ÖZELLİKLERİ TÜREVİ


    F(x, y) = 0 biçimindeki fonksiyona kapalı fonksiyon denir.


    Kapalı fonksiyonun türevi alınırken


    F(x, y) = 0 kapalı fonksiyonunda her iki tarafın x e göre türevi alınır. Bulunan ifadede

    [​IMG]

    yalnız bırakılır.


    F(x, y) = 0 kapalı fonksiyonunda

    [​IMG]

    eşitliği kullanılarak daha pratik yoldan türev alınır.


    [​IMG]

    F kapalı fonksiyonunda y sabit kabul edilip x e göre alınan türevdir.


    [​IMG]

    F kapalı fonksiyonunda x sabit kabul edilip y ye göre alınan türevdir.


    ÖRNEK:

    [​IMG]


    CEVAP:

    [​IMG]

    Cevap:B Şıkkı
    30 Aralık 2016
    #1
  2. Fonksiyonlar, Çeşitleri Ve Özellikleri Cevapları

  3. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    FONKSİYONLAR, FONKSİYONLARIN ÇEŞİTLERİ, FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ (2) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)



    TANIM : f A kümesinden B kümesine bir bağıntı olsun. f bağıntısında

    A nın istisnasız her elemanı B nin en fazla ve en az bir elemanı ile eşleşiyorsa f bağıntısına fonksiyon denir ve



    [​IMG]şeklinde gösterilir.



    A kümesine tanım kümesi,

    B kümesine görüntü kümesi denir.



    Tanım kümesinin elemanlarına orijinaller,

    görüntü kümesinin elemanlarına görüntüler denir.



    Bu yeni terimleri kullanarak fonksiyon olma şartını yeniden yazalım :

    A'nın her orjinalinin B içinde en az ve en fazla bir tane görüntüsü olacaktır.



    ÖRNEK : Aşağıdaki bağıntılardan hangileri A= { 1, 2 , 3 } kümesinden

    B = { a, b , c , d } ye fonksiyondur?

    1. Β1 = {(1, b), (2, a) }

    2. Β2 = {(3,b), (1,c), (2,b) }

    3. Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }

    4. Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }



    ÇÖZÜM :

    1. Β1 = {(1, b), (2, a) }

    A kümesindeki 3' orjinalinin B içinde bir görüntüsü yoktur.

    Β1 fonksiyon değildir.

    2. Β2 = { (3, b), (1,c), (2,b) }

    A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.

    Β2 fonksiyondur.

    3. Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }

    A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.

    Β3 fonksiyondur. Görüntüler eşit olabilir.

    4. Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }

    A kümesindeki her orijinalin B içinde yalnız bir tane görüntüsü olacak. Burada 1 orijinali iki tane farklı görüntüye sahiptir.

    Β4 fonksiyon değildir.



    ÖRNEK : Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir.

    1. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?



    ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her insanın en fazla bir ve en az bir tane mesleği olmalıdır. Oysa gerçekte bazı insanların iki mesleği olduğu gibi bazı insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.



    2. Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı kendi yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?



    ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en fazla ve en az bir tane yuvası olmalıdır. Oysa gerçekte bazı hayvanların yuvalarının olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.



    3. Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?



    ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en fazla ve en az bir tane babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun mutlaka bir babası mevcuttur ve bir çocuğun iki babasının olması biyolojik olarak mümkün değildir. Bu bağıntı fonksiyondur.



    UNUTMAYIN : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.





    4. Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları ücretleri eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?



    ÇÖZÜM : Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan olmayacağı için her işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir patron bir işçiye iki ücret vermeyeceğine göre her işçinin en fazla bir tane ücreti vardır. O halde bu bağıntı fonksiyondur.



    Fonksiyonlar genellikle yapılan eşlemeyi ifade eden kurallarla verilir.



    ÖRNEK :

    f : A = {1, 2, 3 } [​IMG] B

    f(x) = 2x + 3

    fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım:

    Burada tanım kümesinin elemanları ( orijinaller ) verilmiş fakat görüntüler verilmemiştir.



    Fonksiyonun kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız.

    1 in görüntüsü f(1) = 2.1 + 3 = 5

    2 nin görüntüsü f(2) = 2.2 + 3 = 7

    3 ün görüntüsü f(3) = 2.3 + 3 = 9

    f = { (1,5), (2,7), (1,c) , (3,9) } şeklinde gösterilir.



    ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) , (2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki soruları çözelim:

    1. Tanım kümesi nedir?

    2. Görüntü kümesi nedir?

    3. f(2) = ?

    4. f(-3) = ?

    5. f(5) = ?



    ÇÖZÜM :

    1. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını verir.

    A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 , 3 }

    2. Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını verir.

    B = { -1 , 2 , 3 , 5 , 9 }

    3. f(2) = ? sorusu " 2 ' nin görüntüsü kaç demektir"

    2 ' nin görüntüsü sıralı ikilide 2 nin karşısındaki sayıdır. f(2) = -1

    4. f(-3) = ? sorusu " -3 ' ün görüntüsü kaç demektir"

    -3 'ün görüntüsü sıralı ikilide -3 ün karşısındaki sayıdır. f(-3) = 9

    5. f(5) = ? sorusu " 5 ' in görüntüsü kaç demektir"

    5 'in görüntüsü sıralı ikilide 5 in karşısındaki sayıdır.

    Sıralı ikililerin hiç birinde 5 birinci bileşen olarak yer almamıştır. Yani bu fonksiyon 5 için tanımlanmamıştır.

    5 in görüntüsü yoktur.





    A- FONKSİYON ÇEŞİTLERİ



    =>BİRİM FONKSİYON



    f : A [​IMG] B

    f(x) = x



    f fonksiyonuna birim fonksiyon denir .

    Yani her elemanın görüntüsü kendisine eşittir .

    Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir.



    ÖRNEK :

    Aşağıda A = { a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan

    I : A [​IMG]A

    fonksiyonu birim fonksiyondur

    Çünkü : I(x) = x olur.

    I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir .

    [​IMG]



    ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu görüntü almaktır. Kamera ile bir maçı çekersek sonradan seyrettiğimizde kameranın her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirdiğini görürüz. Yani hiçbir zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet olmaz. Kamera her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirir. Kameranın fonksiyonu sabit fonksiyondur.





    =>SABİT FONKSİYON :



    f : A [​IMG] B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı görüntüye sahip ise f ye sabit fonksiyon denir ve her x є A için f (x) = b şeklinde gösterilir.

    [​IMG]





    ÖRNEK :

    Bu fonksiyonu A = {1, 2, 3} olmak üzere

    f : A [​IMG] B A 'nın tüm elemanları B ={3} elemanına gönderildiği için, fonksiyonu sabit fonksiyondur.



    ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur.





    =>BİRE BİR FONKSİYON


    TANIM:

    A dan B ye bir f fonksiyonu tanımlanmış olsun A kümesinin birbirinden farklı her x1 ve x2 elemanları için; f(x1)f (x2) ise f fonksiyonuna, bire bir fonksiyon denir. Yani A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Kısacası


    x1 ,x2 A için, x1 x2 f(x1) f(x2) ya da f(x)1 = f(x2) x1 = x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.



    =>İÇİNE (ÖRTEN) FONKSİYON



    f : A [​IMG] B fonksiyonunda orijinallere ait görüntüler görüntü ( B ) kümesinin alt kümesi oluyorsa f içine fonksiyondur . bilgi yelpazesi.com

    ÖRNEK:

    [​IMG]

    Şemada tanım kümesi A = { a , b , c } ve görüntü kümesi B = { 1, 2, 3, 4 } dür.

    Orijinallerin görüntülerinden oluşan görüntü kümesi f (A) = { 1, 2 } dir.

    { 1, 2 } C { 1, 2, 3, 4 } olur. f (A) kümesi B ' nin alt kümesidir. Fonksiyon içinedir.

    Yani B kümesi A kümesinin görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur.




    A- FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER


    =>TERS FONKSİYON:


    [​IMG] fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun.

    [​IMG]

    fonksiyonuna f in tersi denir ve f-1 şeklinde gösterilir.


    [​IMG]



    ÖRNEKLER:

    [​IMG]

    Çözüm:

    [​IMG]


    Çözüm:

    [​IMG]



    =>BİLEŞKE FONKSİYON:


    [​IMG]

    birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir.


    BİLEŞKE FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ:

    [​IMG]



    ÖRNEKLER:

    1. [​IMG] iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir?

    Çözüm:

    (gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 )= g(- 3) = - 3 + 1 = - 2

    2. f ve g : [​IMG]

    [​IMG]

    ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun.

    Çözüm:

    [​IMG]



    3. f ve g : [​IMG]

    f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir?

    Çözüm:

    [​IMG]


    [​IMG]

    Çözüm:

    [​IMG]



    CEVAPLI SORULAR

    1- f A dan B ye bir fonksiyon, x x2 fonksiyonunun bire bir midir?


    Cevap :

    f(-2) = (-2)2 = 4

    f(2) =22 = 4 olduğundan, -2 2 f(-2) = f(2) olur yani verilen fonksiyon bire bir değildir.


    2- A ={ -1, 0,1 } ve b={ 0,1 }kümeleri için f A dan B ye bir fonksiyon f(x) = x2 fonksiyonunun örten olmadığını araştırınız.


    Cevap :

    f(-1) = 1

    f(0) = 0

    f(A) = {0,1} dır.


    f(1) =1

    f(A) = B olduğundan f örtendir.


    3- A = {-1, 0,1,2,3} ve B = {0,1,2,34,5,10} kümeleri veriliyor. f(x) = x2 + 1 fonksiyonu örten bir fonksiyon mudur? ( f; A dan B ye bir fonksiyon) bilgi yelpazesi.com


    Cevap :

    f(-1) = (-1)2 + 1 = 2

    f(0) = 02 +1 = 1

    f(1) = 12 + 1 = 2

    f(2) = 22 + 1 = 5

    f(3) = 32 + 1 = 10

    f(A) = { 1,2,5,10} B olduğundan, f içine fonksiyondur.


    4) f : R [2 + ] f(x) = x2 + 2 bire bir ve örten midir? x 0


    Cevap :

    f(0) = 02 +2 = 2 Örtendir -1 1

    x1 x2 için f(x1) f(x2) f(-1) = f(1)

    f(-1) = (-1)2 + 2 = 3

    f(1) = 12 +2 = 3 Birebir değil


    5) f : R R f(x) = ( a-2 ) . x2 + ( b+3 )x + 7 sabit fonksiyon ise a - b +f(x)=?


    Cevap :

    f(x) = c olduğundan

    f(x) = ( a - 2 ) . x2 + ( b + 3 ) . x +7

    0 0

    a-2 = 0 b+3 = 0

    a = 2 b = -3

    f(x) = 7 a + b + f(x) = 2+3+7 = 12


    6) f :R R , f(x) = x3 - 4x +2 olduğuna göre f-1(2) nedir?


    Cevap :

    f -1(2) = x f(x) = 2

    x3 - 4x +2 = 2

    x3 - 4x = 0

    x( x2 - 4 ) = 0

    x = 0, x = 2, x = -2

    f -1(2) = { -2, 0 ,2 } bulunur.


    7) f : R-{-1} R, f(x) = x2 - 3x + 2 olduğuna göre, f -1(6) nedir?


    Cevap :

    f -1(6) = x f(x) = 6

    x2 -3x + 2 = 6

    x2 -3x -4 = 0

    ( x-4 ) (x + 1 ) = 0

    x = 4, x = -1

    x = -1 sayısı tanım kümesinin elemanı olmadığı için f -1(6) = 4


    KAPALI FONKSİYON FORMÜLÜ TANIMI ÖZELLİKLERİ TÜREVİ


    F(x, y) = 0 biçimindeki fonksiyona kapalı fonksiyon denir.


    Kapalı fonksiyonun türevi alınırken


    F(x, y) = 0 kapalı fonksiyonunda her iki tarafın x e göre türevi alınır. Bulunan ifadede

    [​IMG]

    yalnız bırakılır.


    F(x, y) = 0 kapalı fonksiyonunda

    [​IMG]

    eşitliği kullanılarak daha pratik yoldan türev alınır.


    [​IMG]

    F kapalı fonksiyonunda y sabit kabul edilip x e göre alınan türevdir.


    [​IMG]

    F kapalı fonksiyonunda x sabit kabul edilip y ye göre alınan türevdir.


    ÖRNEK:

    [​IMG]


    CEVAP:

    [​IMG]

    Cevap:B Şıkkı
    30 Aralık 2016
    #2
soru sor

Fonksiyonlar, Çeşitleri Ve Özellikleri

Alakalı Aramalar:

  1. c de fonksiyonlarin çeşitleri