Doğal Sayılar, Çeşitleri Ve Özellikleri

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, ●ŚOП İKλZ● üyesi tarafından 30 Aralık 2016 tarihinde yazılmıştır. Doğal Sayılar, Çeşitleri Ve Özellikleri hakkında bilgi ve tartışmalar.

  1. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    Doğal Sayılar, Çeşitleri Ve Özellikleri

    DOĞAL SAYILAR, DOĞAL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ, ÇEŞİTLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


    0 1 2 3 ... 50 ... devam eden sayılara doğal sayılar denir.

    Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.

    D = {0 1 2 3 4 5 ... }

    İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir.

    n bir doğal sayı iken;

    Çift doğal sayılar : 2

    Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.

    Sayma Sayıları

    Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.

    S = {1 2 3 4 5 ...}


    SAYI DOĞRUSU


    Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.


    ONLUK SAYMA DÜZENİ


    Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik onluk yüzlük binlik gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin 2543 sayısı içinde 3 birlik 4 onluk 5 yüzlük 2 binlik vardır.


    RAKAM


    Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.

    Rakamlar kümesi : R = {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} olarak tanımlanır.

    Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.


    BASAMAK DEĞERİ


    Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir.

    Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.


    SAYI DEĞERİ


    Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir.


    ÇÖZÜMLEME


    Bir sayının içinde kaç tane birlik kaç tane onluk kaç tane yüzlük kaç tane binlik ... varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.


    2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1


    GRUPLAMA


    Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.



    2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya

    = 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik


    SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ


    ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU


    4 4 üssü 2 (4'ün karesi 4'ün ikinci kuvveti)

    5 5 üssü 3 (5'in küpü 5'in üçüncü kuvveti)

    3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti)


    ÜSSÜN ANLAMI


    Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.


    10 = 10 x 10 = 100

    5 = 5 x 5 x 5 = 125

    4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256

    3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

    2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64


    ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ


    Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3 7=7 10=10 15=15

    Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir. 80=1 9=1 160=1 0=1????:



    Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7 1000=1000 64=64 1=1

    1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir. 1=1 1=1 1=1

    Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır.


    ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME


    Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü şeklinde yazılır.


    5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)

    =(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)


    DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA


    Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür. Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur.


    Küçük < Büyük

    Büyük > Küçük


    < işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür.


    DÖRT İŞLEM


    DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA


    AB = olmak üzere (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir.

    A={12} ve B={3 4 5} ise

    s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6

    Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir. İşlemin sonucuna da toplam denir.

    Toplama işlemi (bilgi yelpazesi.net) ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır. Aynı türden ve birimleri aynı olan çokluklar toplanabilir.


    Toplama İşleminin Özellikleri


    Kapalılık Özelliği


    İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna kapalılık özelliği denir.


    3D 4D için 3 + 4 = 7D dir.

    9D 13D için 9 + 13 = 22D dir.

    aD bD için (a + b)D dir.


    Değişme Özelliği


    Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez. Buna toplamada değişme özelliği denir.

    3 + 5 = 8 = 5 + 3

    aD bD ise; a + b=b + a dir.


    Birleşme Özelliği


    Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez. Bu özelliğe

    toplama işleminin birleşme özelliği denir.


    3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13

    aD bD cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir.


    Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır.


    Etkisiz (Birim) Eleman


    Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir.


    5 + 0 = 5

    0 + 6 = 6


    Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır.


    DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA


    A = {abcde} B = {de}

    s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir.

    s(A) - s(B) = s(C)

    5 - 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır.


    B A ise A - B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir.


    Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir.


    Çıkarma İşleminin Özellikleri


    Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir.

    Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir.

    Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0

    Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3'tür.


    DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA


    Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise m doğal sayısına a ile b'nin çarpımı denir. m=a x b biçiminde gösterilir. Çarpma işareti ( x ) ya da( . )' dır.



    Çarpma İşleminin Özellikleri


    Kapalılık Özelliği


    İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir.


    Değişme Özelliği


    Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir.


    4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4'tür.

    aD bD için; a x b = b x a 'dır.


    Birleşme Özelliği


    Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.


    4D 5D 2D için

    4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40'tır.


    Etkisiz (Birim) Eleman


    Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.


    1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5'dir.

    aD için a x 1=1 x a=a 'dır.


    Yutan Eleman


    Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir.


    4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 'dır.

    aD için 0 x a=a x 0=0 'dır.


    Çarpmanın Toplama Ve Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği


    aD bD cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve

    aD bD cD için a x (b-c)=(a x b) - (a x c) 'dir.

    Bu özelliğe çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir.


    Çarpmada Kolaylıklar


    Bir sayıyı 10 100 1000 ... ile çarpmak için sayının sağına bir iki üç ... sıfır yazılır.


    14 x 10 = 140

    16 x 100 = 1600

    22 x 1000 = 22000

    7 x 10000 = 70000

    Bir sayıyı 25 ile çarpmak için sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4'e bölünür.


    25 x 36=(36 x 100)/4=900


    Bir sayı 50 ile çarpılırken sayı 100'le çarpılır çarpım 2'ye bölünür.


    78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200


    Bir sayı 5'le çarpılırken sayı 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür.



    89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445


    Bir sayı 9'la çarpılırken sayı 10'la çarpılır çarpımdan sayının kendisi çıkarılır.


    56 x 9=(56 x 10)-56 560-56=504



    DOĞAL SAYILARDA BÖLME


    aD bD ve b0 olmak üzere a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa c sayısına a'nın b'ye bölümü denir. a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir.


    Bölmenin Sağlaması


    Sağlama işlemi Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır.


    Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir.


    Bölme İşleminin Özellikleri


    Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur.


    4D 3D için 4/3=doğal sayı değildir.


    Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur.


    5D 15D için 15/5 5/15


    Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.


    (24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12


    Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.


    2/1 1/2 2 05


    Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir.


    aD için a/1=a dır. 1/1=1 39/1=39 3/1=3 101/1=101


    Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.


    0/a=0 'dır. 0/4=0 0/100=0 0/15=0


    0 hariç bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir.


    aD için a/a=1 'dir. 6/6=1 109/109=1 10/10=1 88/88=1


    Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.


    5/0=tanımsız 12/0=tanımsız


    Bir sayıyı 10 100 1000 ... ile bölmek;


    10'a bölerken bir sıfır silinir. 400/10 = 40

    100'e bölerken iki sıfır silinir. 200/100 = 2

    1000'e bölerken üç sıfır silinir. 3000/1000 = 3



    DOĞAL SAYILAR KÜMESİ:


    Sayma sayıları kümesine 0(sıfır) sayısını katarsak,doğal sayılar kümesini elde ederiz.Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.

    N={0,1,2,3,4,5...}


    Not:

    1. İki basamaklı ab doğal sayısı;

    Ab=a.10+b.1=10a+b dir.


    2. Üç basamaklı abc doğal sayısı;

    Abc=a.100+b.10+c.1=100a+10b+c dir.


    Örnek:

    Her biri en aza iki basamaklı olan 8 tane sayı vardır.Bunlardan her birinin birler basamağındaki rakam sayısal değerler bakımından 2 küçültülür,onlar (bilgi yelpazesi.net) basamağındaki rakam 2 büyültülürse bu 8 sayının toplamı ne kadar artar?

    Çözüm:

    İki basamaklı herhangi bir sayı alalım.Bu sayı 45 olsun.

    Birler basamağı 2 küçültülürse sayı 43 olur.

    Bu sayı 45-43=2 küçülür.

    Onlar basamağı 2 büyürse sayı 65 olur.

    Bu sayı:65-45=20 büyür.

    1 sayıdaki artış = 20-2=18 dir.

    8 sayıdaki artış = 8.18= 144 olur.


    Uyarı:

    1. Bir sayının birler basamağındaki rakam; x kadar artırılıp veya azaltıldığında, bu sayıda x kadar artar veya azalır.

    2. Bir sayının onlar basamağındaki rakam; x kadar artırılıp veya azaltıldığında, bu sayı 10x kadar artar veya azalır.


    Tek Ve Çift Doğal Sayılar:


    - Çift doğal sayılar kümesi:

    Ç={0,2,4,6,8...} dir.

    2n daima çift sayıdır.


    - Tek doğal sayılar kümesi:

    T={1,3,5,7,9...} dur.

    2n+1 daima tek sayıdır


    Sonuç: Ç - çift sayı, T – tek sayı ise;

    - Ç+Ç=Ç

    - Ç+T=T

    - T+T=Ç

    - Ç.Ç=Ç

    - T.Ç=Ç

    - T.T=T
    30 Aralık 2016
    #1
  2. Doğal Sayılar, Çeşitleri Ve Özellikleri Cevapları

soru sor

Doğal Sayılar, Çeşitleri Ve Özellikleri