Çember, Çeşitleri, Açıları, Özellikleri

Çember, Çeşitleri, Açıları, Özellikleri


ÇEMBER, ÇEŞİTLERİ, AÇILARI, ÖZELLİKLERİ, DAİRE (MATEMATİK KONU ANLATIM)



Düzlemde, sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerine çember denir.

Sabit nokta merkez, eşit uzaklıklar yarıçap, uç noktalar çember üzerinde bulunan doğru parçası kiriş, kirişi taşıyan doğruya kesen denir.

Merkezde geçen kiriş çap'tır.



Çember düzleminde bulunan ve çemberi bir noktada kesen doğruya teğet, çembere değdiği noktaya değme noktası denir.



Çember düzleminde bulunan ve çemberi bir noktada kesen doğruya teğet, çembere değdiği noktaya değme noktası denir.





ÇEMBERDE KİRİŞ VE KESEN ÖZELLİKLERİ:


Kirisin orta dikmesi merkezden geçer;

Bunun karsıtları da doğrudur. Yanı

a) Merkezden kirise indirilen dikme kirisi ortalar.

b) Kirisin ortası ile merkezi birlestiren doğru kirise diktir.





a) Merkezden esit uzaklıkta bulunan kirisler estir.



b) Merkeze yakın olan kiris uzak olan kiristen daha büyüktür.







Bunların karsıtları da değismez.



Çember içindeki bir noktadan geçen kirislerin bu nokta ile ayrılan parçalırının çarpanları birbirine esit ve sabittir. Bu sabit (bilgi yelpazesi. com) değere noktanın çembere göre kuvveti denir.








DIŞINDAKİ BİR NOKTADAN ÇİZİLEN KESEN VE TEĞETE AİT ÖZELLİKLER


Çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen teğetler ve kesen için noktanın çemberi kestiği noktalara olan uzaklıklara çarpım sabittir.





Bu sabit değere P noktasının çembere göre kuvveti denir.



ÖRNEK :



A merkezli ve B den geçen çember [BC] yi bir D noktasında kesiyor.

[CD] kaç birimdir?





Çözüm :







ÖRNEK :



O merkezli çemberin yarıçapı kaç birimdir?

A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14



Çözüm :







İKİ ÇEMBERİN BİRBİRLERİNE GÖRE DURUMLARI



Bir düzlemde bulunan iki çember asağıda gösterildiği gibi altı değisik durumda bulunurlar.







a) Her iki çemberi kesen her doğrunun çmberler arasında kalan parçaları birbirine esit olur.

Sekilde |AB| = |CD|; |EF| = |KL|



b) Dıstaki çemberin kirişi içteki çembere teğet olursa değme noktası kirişin orta noktası olur.





ÇEMBERDE TEĞET ÖZELLİKLERİ:







ÖRNEK:



Sekildeki üç çember ikişer ikişer teğettir ve merkezleri ABC üçgenin köseleridir. Çemberlerin yarıçapları 8 cm, 3 cm ve 2 cm dir.

Üçgenin çevresi kaç cm dir?

A) 13 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18



Çözüm :







ÖRNEK:



Şekilde ABCD yamuk |AB| = 39, |BC| = 13, |CD| = 18 |DA| = 20 cm dir. r yarıçaplı eş çemberler birbirlerine ve üçer kenara teğettir.

Bu bilgilere göre r kaç cm dir?

A) 6 B) 5,5 C) 5 D) 4,5 E) 4



Çözüm :







İKİ ÇEMBERİN ORTAK TEĞETLERİ:



Tanım: İki çembere teğet olan bir doğruya ortak teğet denir.



ORTAK DIŞ TEĞET



İki çember ortak teğetin aynı bir yanında bulunuyorsa bu teğete ortak dış teğet denir.



Ortak dış teğet 2 tane çizilir. Bunlar merkezler doğrusu üzerinde kesisir.



ORTAK İÇ TEĞET :



Çemberler ortak teğete göre farklı yanlarda bulunurlarsa bu teğete ortak iç teğet denir. İki çembere ortak iç teğet iki tane çizilebilir. Bu iki ortak iç teğet merkezler doğrusu üzerinde kesisirler.





TEĞET İKİ ÇEMBERİN ORTAK TEĞETLERİ



OO' çaplı merkez ortak teğetlere orta noktalarında teğet olur.





ÖRNEK:





Çözüm :







ÖRNEK:



Yukarıdaki şekilde, A merkezli ve 2 birim yarıçaplı çembere, AB doğrusuna ve BD doğrusuna teğet olan çemberin yarıçapı kaç birimdir?



Çözüm :







TEĞETLER DÖRTGENİ:



Kenarları aynı bir çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir.



Sekildeki dörtgenin kenarları M çemberine teğet olduğu için ABCD dörtgeni teğetler dörtgenidir.




TEĞETLER DÖRTGENİNDE ÖZELLİKLER:


1. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı birbirine esittir.

Sekilde, |AB| + |DC| = |BC| + |AD| esitliği yazılır.



2. Teğetler dörtgeninde açıortaylar bir noktada kesişir.

Bu nokta iç teğet çemberin merkezidir.



3. Teğetler dörtgeninin alanı yarı çevre ile yarıçapın çarpımına esittir.





ÖRNEK:



Şekilde ABCD teğetler dörtgeni, ABED bir paralelkenardır.

|AB| = 8 cm,

|DC| = 5 cm olduğuna göre

BEC üçgeninin çevresi kaç cm dir?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20



Çözüm :

|DE| = |AB| = 8 cm,

|CE| = |DE| – |DC| = 8 – 5 = 3 cm ABCD teğetler dörtgeninde

|AB| + |DC| = |DA| + |CB| = 8 + 5 = 13

|BE| = |AD| olduğu için

|DA| + |CB| = |BE| + |AC| = 13 bulunur.

Çevre |BE| + |AC| + |CE| = 13 + 3 = 16 bulunur.

Yanıt : C





ÇEMBERDE AÇI – YAY


ÇEMBERDE YAY KAVRAMI:





Çemberde alınan iki nokta çemberde iki yay ayırır. Yayın uç noktalarını merkeze birlestirdiğimiz zaman açı olusturan yaya küçük yay, açı olusturmayan yaya büyük yay denir.

Eğer A ve B noktaları çapın iki ucu ise her bir parçaya yarım çember denir.



Yay kavramı üç değisik durum belirler.

1) AB, (AB yayı) A ve B noktaları arasında bulunan

noktalar kümesini belirler.

Sekilde A CB (ACB yay›) büyük yayı belirler. Bu da bir

nokta kümesidir.

2) |AB| (AB yayının uzunluğu)

Bu uzunluk birimi türünden bir reel sayı belirler.



3) m AB ya da s (AB ) (AB yayının ölçüsü (ölçümü)nü belirler. Anlamı, AB yayının iki ucunu merkeze birleştiren yarıçapların (bilgi yelpazesi. com) belirttiği açının ölçüsüdür.) Sekilde m A B = a





yay ölçü birimi, açı ölçüleri birimidir. Yani, derece, grad ve radyandır.

Yarım çemberin ölçüsü 180° dir.






MERKEZ AÇI :

Köşesi merkezde bulunan açıya merkez açı denir.

Merkez açının ölçüsü çemberden ayırdığı (gördüğü) yayın ölçüsüdür.




ÇEVRE AÇISI (ÇEMBER AÇI) :

Kösesi çember üzerinde bulunan ve çemberden yay ayıran açıya çevre açısı denir.



Sekilde AB (AB yayını) gören üç değisik durumda bulunan C çevre açılarını görüyoruz.


Bir çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına esittir.

Baska bir deyisle, bir çevre açısının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının yarısına esittir. (Her durumda)






KİRİŞLER DÖRTGENİNİN ÖZELLİKLERİ:


a) Kirisler dörtgeninde karsılık açılar toplamı 180° dir.




b) Kirişler dörtgeninde köşegen uzunluklarının çarpımı, karşılıklı kenar uzunluklarının çarpımlarının toplamına eşittir.







TEĞET KİRİŞ AÇI:


Köşesi çemberin üzerinde bulunan ve bir kenarı teğet diğer kenarı kiriş olan açıya teğet – kiriş açı denir.

Teğet – kiriş açının ölçüsü ayırdığı yayın ölçüsünün yarısına esittir.




ÇEMBERDE DIŞ AÇI:


Köşesi çemberin dışında bulunan ve çember üzerinde yaylar ayıran açıya çemberde dış açı denir.

Çemberde dış açının ölçüsü gördüğü yayların farkının yarısına eşittir.




ÇEMBERDE İÇ AÇI:


Köşesi çemberin içinde bulunan bir açıya çemberde iç açı denir.

İç açının ayırdığı yaylar denince, açının kenarlarının ve kenarlarının uzantılarının ayırdığı yaylar akla gelir.





ÖRNEK :




ÖRNEK :




ÇEMBERDE ÇEVRE VE YAY UZUNLUKLARI:


Yarıçapı R olan bir çemberde






Çevre:




Yay uzunluğu :