Çarpanlara Ayırma Ve Özellikleri

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, ●ŚOП İKλZ● üyesi tarafından 30 Aralık 2016 tarihinde yazılmıştır. Çarpanlara Ayırma Ve Özellikleri hakkında bilgi ve tartışmalar.

  1. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    Çarpanlara Ayırma Ve Özellikleri

    ÇARPANLARA AYIRMA, ÇARPANLARA AYIRMANIN ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


    Bir Polinom ifadenin daha düşük dereceli ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasına çarpanlara ayrıma denir Çarpanlara Ayırma denir.


    Çarpanlara Ayırma rasyonel ifadelerin sadeleşmesine ve denklem çözümlerinin çok kullanıldığı bir işlemdir.Çarpanlara ayırmada ilk adım çarpanların toplama üzerinde dağılma özelliğinden faydalanarak EBOÇ (En Büyük Ortak Çarpan ) kullanmaktır.


    İki yada daha fazla üstel ifade verildiğinde bunların üsleri veya tabanları aynı olması halinde EBOÇ kullanılır


    [​IMG] için EBOÇ = [​IMG] dür,

    [​IMG] için EBOÇ = a dır


    Ör:

    [​IMG]


    Polinom ifadelerinin bazıları ise GRUPLANDIRILARAK çarpanlara ayrılabilir.

    [​IMG] ifadesini ele alırsak ; [​IMG] ilk iki ile son iki terimlisi gruplandırılmalı.


    [​IMG] her grup içinde EBOÇ bulunmalı.

    =(2y-7).(3y² -2)

    3 terimli Polinom ifadelerinde deneme yöntemi ile çarpanlara ayrıma yapılır.


    Ör:

    [​IMG]


    [​IMG]in çarpanlarına ayırmada dikkat edilecek hususlar ;


    1-) c sabiti dağılma özelliği iki terimlinin sabitlerinin çarpımından gelir.


    2-)b katsayısı iki terimlideki sabitlerin toplamıdır.


    3-)c pozitif ise, iki terimlideki sabitler aynı işaretlidir.


    4-) c negatif ise, iki terimlideki sabitler ters işaretlidir.b`nin önündeki önündeki işaret ise mutlak değerce büyük olan sabitin işaretidir.


    Örnek;

    [​IMG] ifadesini çarpanlara ayırınız.


    Çözüm:

    Burada uygulanacak yöntem ; -18’in çarpanlarını bularak bunlardan hangi ikisinin toplamının +7 verdiğini bulmaktır. Bu ise -2 ve +9 ‘un toplamıdır.

    [​IMG] (x-2).(x+9)



    [​IMG] ‘nin çarpanlara ayrılmasında dikkat edilecek hususlar ;


    - Üç terimlinin sabit terimi pozitif ise iki terimlinin sabit terimleri aynı işaretli olup bu işaret aynı zamanda b’ninde işaretidir


    - Üç terimlinin sabit teriminin sabit işareti negatif ise iki terimlilerin sabit terimlilerin sabitleri ters işaretleridir.


    - Üç terimli ifadenin terimlerinin ortak çarpanı yoksa , iki terimlilerinde ortak çarpanı yoktur.


    Örnek ;

    [​IMG] ifadesinin çarpanlarına ayırınız.


    Çözüm: Sabit terim +4 olup, çarpanlarına ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin sabit terimleri aynı aynı işaretli oldukları anlaşılır. b = -11 olduğu için her ikisininde (-) olduğuna karar verilir


    [​IMG]



    Bu çarpanlarda doğru orta terim bulmaya çalışılır.


    Denen Çarpanlar Ortadaki Terim


    (x-1).(6x-4) 6x ile 4’ün ortak çarpanı var.

    (x-4).(6x-1) -x-24 = -25x

    (x-2).(6x-2) 6x ile 2’nin ortak çarpanları var

    (2x-1).(3x-4) -8x-3x =-11x -> Doğru Orta Terim


    O Halde:



    [​IMG]



    DİKKAT:Bazı durumlarda bir bir polinomu iki polinomun (tam katsayılı) çarpımı şeklinde ifade etmek mümkün (bilgi yelpazesi.net) olmayabilir. Örneğin [​IMG] tam sayılarda çarpanlara ayrılamaz.Çünkü 7 sayının çarpanlarının toplamının veya farkı üç sayısını veremez.



    ÇARPANLARA AYIRMA TEOREMİ:


    Üç terimli polinomlarda [​IMG] tamsayı katsayıları a,b,c olmak üzere, şayet [​IMG] tam kare ise bu üç terimli iki terimlinin çarpımı halinde yazılabilir.


    Örnek: [​IMG] ifadelerini çarpanlarına ayırınız.


    Çözüm :

    [​IMG]

    121 tam kare olduğundan çarpanlarına ayrılabilir.


    [​IMG]


    Bazı polinomların dereceleri ikiden fazla olmasına rağmen deneme metotu kullanarak çarpanlara ayrılabilir.


    [​IMG] polinomunu ele alırsak tüm terimlerin işaretlaerinin pozitif olduğunu görüyoruz; buradan da çarpanlara ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin bütün katsayılarının pozitif olması gerekiyor.

    [​IMG]



    ÖZDEŞLİKLER:


    Bazı polinomlar da aşağıdaki özdeşlikleri kullanarak çarpanlarına ayrılır.

    [​IMG]


    RASYONEL İFADELER


    TANIM: P(x) ve Q(x) reel katsayılı iki polinom ve Q(x)≠0 için. biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir.


    X elemanını reel sayılar kümesinden seçersek , paydanın sıfır olduğu haller dışında ,


    [​IMG] daima reel değerler verir.


    Yani x [​IMG] R için

    [​IMG] reel sayıların bir alt kümesinden ,reel sayılara bir fonksiyon olarak düşünülebilir.


    [​IMG]biçimindeki rasyonel ifadeleri , rasyonel sayılarda olduğu gibi sadeleştirebiliriz .Ancak bunu yaparken x elemanını tanımsız kabul ediyoruz.


    Örnek:

    [​IMG] ifadesini sadeleştiriniz.


    Çözüm:

    [​IMG]



    RASYONEL İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ


    [​IMG]



    Rasyonel ifadeler toplanır veya çıkarılırken şu işlemler uygulanır ;


    - İfadeler çarpılırken en sade biçimine getirilir.


    - Paydalar eşitlenir.Bunun için paydaların EKOK u bulunur.Her ifade, paydası EKOK olacak şekilde genişletilir.


    - Paydalar toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır.Ortak paydada paya yazılır.


    - Bulunan sonuç sadeleşiyorsa tekrar sadeleştirilir.



    Örnek :

    [​IMG] işlemini yapınız.


    Çözüm :

    [​IMG]



    Örnek:

    [​IMG] işlemini yapınız.

    Çözüm

    [​IMG]



    RASYONEL İFADELERDE ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ


    [​IMG]


    Rasyonel İfadelerde Çarpma İşlemi Yapılırken ;


    - Verilen ifadeler çarpanlarına ayrılır.


    - Sadeleştirme (bilgi yelpazesi.net) varsa yapılır.


    - Paylar çarpılıp paya ,paydalar çarpılıp paydaya yazılır.


    Rasyonel İfadelerde Bölme İşlemi Yapılırken;


    - Birinci ifade aynen yazılır .İkinci ters çevirilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.


    Örnek :

    [​IMG] işlemini yapınız.


    Çözüm:

    [​IMG]


    Örnek :

    [​IMG] işlemini yapınız.


    Çözüm:

    [​IMG]



    ÇÖZÜMLÜ SORULAR


    1-) x =196 , y = 4 , a = 38 , b = 2 için

    [​IMG] ifadesinin değeri kaçtır?


    Çözüm :

    [​IMG]



    2-) [​IMG] olduğuna göre x² nedir?


    Çözüm:

    [​IMG]



    3-) x ve y pozitif gerçel sayılar olmak üzere ;

    [​IMG] olduğuna göre ,

    [​IMG] ifadesinin değeri kaçtır?


    Çözüm:

    [​IMG] [​IMG]

    x ve y pozitif gerçel sayı olduğundan ;

    [​IMG]


    4-) x pozitif sayısı gerçel sayı olmak üzere;

    [​IMG]

    ifadesini değeri kaçtır?


    Çözüm:

    [​IMG]



    5-)

    [​IMG] işleminin sonucu kaçtır ?


    Çözüm:

    [​IMG]



    6-) [​IMG] olduğuna göre [​IMG] = ?


    Çözüm:

    [​IMG]


    7-) x + y +z = 6

    xy +yz +xz =12 olduğuna göre [​IMG] toplamı kaçtır ?


    Çözüm:

    [​IMG]



    8-) [​IMG] toplamının en küçük değeri kaçtır ?


    Çözüm:

    [​IMG]


    9-)

    [​IMG]

    Şekildeki dairenin yarıçapı r ,dıştaki yarı çapı ise R dir.Dairenin çevrelerinin toplamı [​IMG] olduğuna göre R kaçtır?


    Çözüm:

    [​IMG]



    10-) x<0<y olmak üzere

    [​IMG]

    olduğuna göre y nin değeri nedir?


    Çözüm:

    [​IMG]



    11-)

    [​IMG]

    kaçtır ?


    Çözüm:

    [​IMG]



    12-) [​IMG] olduğuna göre ;

    [​IMG] ifadesinin değeri kaçtır ?


    Çözüm:

    [​IMG]



    13-) [​IMG] olduğuna göre ,

    [​IMG] ifadesinin değeri kaçtır ?


    Çözüm:

    [​IMG]


    14-)

    [​IMG] ifadesini sadeleşebilen bir kesir olduğuna göre, m in alabileceği değerler (bilgi yelpazesi.net) toplamı nedir ?


    Çözüm:

    [​IMG]


    [​IMG]



    15-)

    [​IMG]

    ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?


    Çözüm:

    [​IMG]



    16-) [​IMG]

    a +b + c toplamının değeri kaçtır.


    Çözüm:

    [​IMG]



    17-)

    [​IMG]

    ifadesinin pozitif değeri kaçtır?


    Çözüm:

    [​IMG]


    18-)

    [​IMG]

    ifadesinin sonucu kaçtır ?


    Çözüm:

    [​IMG]



    19-) a-b=7 olduğuna göre [​IMG] ifadesinin sayısal değeri nedir ?


    Çözüm:

    [​IMG]


    20-)

    [​IMG]


    Çözüm:

    [​IMG]
    30 Aralık 2016
    #1
  2. Çarpanlara Ayırma Ve Özellikleri Cevapları

  3. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    ÇARPANLARA AYIRMA, ÇARPANLARA AYIRMANIN ÖZELLİKLERİ (2) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


    A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA


    A(x) . B(x) ± A(x) . C(x) = A(x) . [B(x) ± C(x)]


    En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.


    B. ÖZDEŞLİKLER


    1. İki Kare Farkı - Toplamı


    [​IMG]



    2. İki Küp Farkı - Toplamı


    [​IMG]



    3. n. Dereceden Farkı - Toplamı


    I) n bir sayma sayısı olmak üzere,


    [​IMG]


    II) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,


    [​IMG]



    4. Tam Kare İfadeler


    [​IMG]


    5. (a ± b)n nin Açılımı


    Paskal / Pascal Üçgeni

    [​IMG]


    [​IMG]açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin (bilgi yelpazesi.net) çarpımları yazılıp toplanır.


    Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.


    [​IMG] yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.


    [​IMG]



    C. ax² + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI


    1. a = 1 için,


    b = m + n ve c = m . n olmak üzere,


    x² + bx + c = (x + m) (x + n) dir.


    2. a [​IMG] 1 için,


    a = m . p , b = m . q + n . p ve c = n . q

    olmak üzere,


    ax2 + bx + c = (mx + n) (px + q) olur.


    [​IMG]
    30 Aralık 2016
    #2
  4. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    ÇARPANLARA AYIRMA, ÇARPANLARA AYIRMANIN ÖZELLİKLERİ (3) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)


    ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI



    1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :

    Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.


    1) Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız.


    a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)


    c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)


    e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)


    g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x2 (a + b)


    ı) x2(p – 3) + ma2 (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)



    2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :

    Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır.



    2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b2


    c) x4 – 4 + 2x3 – 2x d) 2x2 –3x – 6xy + 9y


    e) x3 – x + 1 – x2 f) x4 – x + x3 – 1


    g) ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2) h) ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b


    ı) mn(zi + y2) + zy (m2 + n2) i) a2b2 + 1 – (a2 + b2)



    3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

    Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı nın iki katı ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir

    a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2



    3) a) x2 + 4xb + 4b2 b) 4a2 + 12ab + 9b2 c) 4a2b2 – 4abc + c2



    4) a) a2b + 8ab +16b3 b) 2m3 – 28m2 +98m c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3



    4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

    Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.


    a2 – b2 = (a + b) (a – b)



    5) a) 25 – 9a2b2 b) x4 – 1 c) (m – n)2 – (m + n)2



    6) a) 18x2 – 2y2 b) 2a2b3 – 32b c) 12x3y – 75xy5



    7) a) 9a2 – 6a +1 – b2 b) x2 – 12x + 36 – 4y2 c)16m2 – n2 – 6n – 9


    d)1 – x2 – 2xy – y2 e) m2 – n2 – 3m + 3n f) a2 – 25b2 – a + 5b


    g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2 h) 9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2




    5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma:


    a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)



    8) a) a3 + 8 b) 8 – m3 c) x3 + 1 d) 27a3 – 64 e) x3a3 + b3


    9) a) 81m3 – 3n3 b) 24x3y – 3y c) 2x + 54x4


    10) a) (x +y)3 – 8 b) a3 + 8(a - b)3 c) (m – n)3 + 1



    6) xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:




    11) a) x4 + 1 = (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)

    b) x4 – 1 = (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)

    c) x5 + 25 = (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

    d) x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)



    7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:

    Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir



    12) 4x4 + 7x2 + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız.


    4x4 + 7x2 + 4 = 4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2 = 4x4 + 8x2 + 4– x2

    = (2x2 + 2)2 – x2

    2x2 2 = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)

    2.2x2.2 = 8x2 = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)



    13) x2 – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini

    ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

    x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 = (x – 3)2 – 4

    = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)


    14) a) m2 + 2m – 24 b) a4 + a2 + 1 c) 16a4 + 4a2b2 + b4 bilgiyelpazesi.com

    d) a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1 (Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar )



    8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

    Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız.


    Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (–) ise işaretleri farklı


    Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur


    Toplamları (–) “ “ (–) olur Toplamları (–) “ büyüğü (–) olur


    15)a) x2 + 5x + 6 b) x2 – 5x + 6 c) x2 + 7x + 6 d) x2 – 7x + 6

    e) x2 + 5x – 6 f) x2 – 5x – 6 g) x2 + x – 6 h) x2 – x – 6

    ı) x2 – 7x – 18 i) x4 – x2 – 30 k) m2 – 6m – 27 l) x2 – 3xy – 10y2

    m) –x2 – 2x + 3 n) x2 – 13x + 30 o) x2 + 2y2– 3xy



    9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

    ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)

    mx p

    nx q (mx.q + nx.q = bx oluyorsa)



    16) 6x2 + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur.

    3x – 1 (3x . 3 – 1. 2x = 9x – 2x = 7x olduğundan)

    2x + 3


    17) a) 3x2 – 2x – 8 b) 3x2 – 7x + 2 c) 2m2 + 5mn – 12n2


    d) 8a2 – 2ab – b e) 4x2 + 21x + 5 f) 36a2 – 33ab – 20b2



    g) 4m2 + 11m – 3 h) 6a2 + 5a – 6 ı) 12a2 – 8ab – 15b2


    i) 2m2 – 10m + 12 k) 3x2 + 3x – 18 l) 3 n2 + 30n + 48



    18) a2 + 2ab + b2 = 3 ve c2 + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?

    c2 + 2ac + 2bc = 6 T.T.T

    a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9 Ç = {-3, 3}


    19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?

    a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

    x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32


    20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10

    a + b yerine ab yazılırsa

    (a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur. a .b = y diyelim.

    y2 – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = - 4 ve y = 6


    21) ise, C = 8

    olur. (özdeşlikte yerine yazalım )


    22) ise; C = 36

    olur. (özdeşlikte yerine yazalım )


    23) ise; C = 12

    olur. (yerine yazalım )


    24) işleminin sonucu kaçtır?

    123 =153 – 30 ve 183 =153 + 30 yazılırsa

    =153 olur
    30 Aralık 2016
    #3
soru sor

Çarpanlara Ayırma Ve Özellikleri

Alakalı Aramalar:

  1. x5-1 açılımı matematik