Aritmetik ve geometrik diziler, seriler, çeşitleri, özellikleri

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, ●ŚOП İKλZ● üyesi tarafından 30 Aralık 2016 tarihinde yazılmıştır. Aritmetik ve geometrik diziler, seriler, çeşitleri, özellikleri hakkında bilgi ve tartışmalar.

  1. ●ŚOП İKλZ●

    ●ŚOП İKλZ● Yönetici

    Aritmetik ve geometrik diziler, seriler, çeşitleri, özellikleri
    A. ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER

    1. ARİTMETİK DİZİ

    A. Tanım
    Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir.

    Diğer bir ifadeyle [​IMG] için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d [​IMG]R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir.

    Örnek

    (an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

    an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.


    B. Genel Terim

    Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı
    [​IMG]
    olan bir aritmetik dizidir.
    [​IMG]
    Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.

    Örnek
    İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
    [​IMG]


    C. Aritmetik Dizinin Özellikleri

    Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark:
    [​IMG]

    Örnek

    39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
    [​IMG]
    a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı:
    [​IMG]

    Örnek

    - 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

    a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4

    Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin (bilgi yelpazesi.net)toplamı Sn ile gösterilirse,
    [​IMG]
    Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k<p iken,
    [​IMG]

    Örnek

    19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır?

    [​IMG]


    2. GEOMETRİK DİZİ

    A. Tanım

    Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle
    [​IMG]
    olacak şekilde bir r [​IMG] R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak
    çarpan veya ortak oran denir.
    Örnek
    (an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

    [​IMG]
    olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.

    B. Genel Terim

    Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,
    [​IMG]
    Demek ki, geometrik dizinin genel terimi:
    [​IMG]

    Örnek

    İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?
    [​IMG]

    C. Geometrik Dizinin Özellikleri

    Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan:
    [​IMG]
    eşitliğinde bulunur.

    Örnek

    2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?
    [​IMG]

    Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse
    [​IMG]
    olur.

    Örnek

    İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?
    [​IMG]

    Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k < p iken,
    [​IMG]

    Örnek

    3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?
    [​IMG]

    Sonuç:

    Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan (bilgi yelpazesi.net)geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.

    Örnek:

    Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n. terimi y’dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

    [​IMG]


    3. SERİLER

    A. Tanım

    - (an) reel terimli bir dizi olsun.
    [​IMG]
    sonsuz toplamına seri denir.

    - an’e serinin genel terimi denir.

    - Serinin ilk n teriminin topl******* oluşan
    [​IMG]
    toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.

    - ([​IMG]dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.

    -
    a) (Sn) dizisi yakınsak ise
    [​IMG] serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı
    [​IMG] dir.
    b) (Sn) dizisi ıraksak ise
    [​IMG] seriside ıraksaktır.

    -
    [​IMG] serisi yakınsak ise lim an = 0’dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim an = 0 iken [​IMG] serisi yakınsak olmayabilir.

    -
    [​IMG]serisi ıraksaktır.

    Örnek
    [​IMG] serisi veriliyor. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
    [​IMG]
    olduğuna göre seri ıraksaktır.



    B. ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

    1. Aritmetik Seriler

    (an) dizisi bir aritmetik dizi ise
    [​IMG] serisine aritmetik seri denir.

    Aritmetik serinin kısmi toplamı
    [​IMG]
    Aritmetik seri ıraksaktır.

    Örnek

    [​IMG](n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

    [​IMG]
    olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.

    2. Geometrik Seriler
    (an) dizisi bir geometrik dizi ise [​IMG] serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin kısmi toplamı
    [​IMG]

    a) |r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı:
    [​IMG]

    b) [​IMG] ise seri ıraksaktır.

    Örnek

    [​IMG]serisi veriliyor.
    Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin (bilgi yelpazesi.net)toplamını bulunuz.
    [​IMG]
    olduğu için seri geometrik seridir.

    a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,
    [​IMG]

    r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir. Bunu için seri yakınsaktır.

    Seri yakınsak olduğuna göre toplamı
    30 Aralık 2016
    #1
  2. Aritmetik ve geometrik diziler, seriler, çeşitleri, özellikleri Cevapları

soru sor

Aritmetik ve geometrik diziler, seriler, çeşitleri, özellikleri