rasyonel sayılar hakkında bilgi

İsimli konu WH 'Soru Cevap' kategorisinde, Misafir üyesi tarafından 21 Kasım 2010 tarihinde yazılmıştır. Konu Özeti: rasyonel sayılar hakkında bilgi. daha fazla bilgi lütfen.... Rasyonel sayılar rasyonel sayılar ...

  1. daha fazla bilgi lütfen....
    21 Kasım 2010
    #1
  2. rasyonel sayılar hakkında bilgi Cevapları

  3. Rasyonel Sayılar, (oranlı sayılar) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır.Rasyonel sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve [​IMG] ile gösterilir. [​IMG] kümesi genelde şöyle tanımlanır:
    [​IMG]
    (a ve b tam sayı ve sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara Rasyonel sayı denir)[​IMG] ve [​IMG] veya [​IMG] eşdeğer Rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her Rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit formu [​IMG] ve [​IMG] tamsayılarının ortak böleninin olmadığı [​IMG] ifadesidir. Her tam sayı Rasyonel sayıdır. Çünkü [​IMG] veya [​IMG] veya [​IMG] şeklinde yani Rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler.Rasyonel sayılar kümesi [​IMG], tam sayılar kümesi [​IMG]'yi kapsar. Yani [​IMG].Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir Rasyonel sayı olarak anılır. [​IMG] kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı [​IMG] olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları [​IMG] olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe [​IMG] şeklinde tanımlanır.Tanımda paydanın sıfır olmama şartı [​IMG] ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.Pozitif rasyonel sayılar kümesi [​IMG]ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi[​IMG]ile gösterilir.
    Örneğin [​IMG] [​IMG]
    Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta


    Yandaki şekilde,bir bütün yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi [​IMG] olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3de 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu [​IMG] ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.



    Rasyonel sayıların cebirsel özellikleri
    [​IMG] olmak üzere:
    Toplama belirtileri

    Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
    • Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse, paydalar eşitlenir. Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.topl******rın ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.
    • Tam sayılı kesirler toplanırken , bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.
    Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
    • Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.
    Kapalılık özelliği
    • İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
    Toplamsal birim öğe (Etkisiz eleman özelliği)
    • [​IMG] bir rasyonel sayı ise [​IMG] olduğunda [​IMG] toplamanın birim öğesidir ve [​IMG] ile gösterilir.
    • [​IMG] ”0” tam sayısına, rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
    Toplamsal tersinir öğe
    • [​IMG] ve [​IMG] iki rasyonel sayı olsun. Eğer [​IMG] ise bu iki sayı birbirinin toplamsal tersidir.
    • [​IMG] Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.
    Toplamada değişme özelliği
    • [​IMG] Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.
    Toplamada birleşme özelliği
    • [​IMG] Rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
    Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma)
    • [​IMG]
    Çarpma belirtileri

    • İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.
    • Tam sayılı kesir biçiminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.
    • Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
    [​IMG] [​IMG] [​IMG] [​IMG] Örneğin [​IMG] [​IMG] Kapalılık özelliği
    • İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
    Yutan eleman
    • Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır. ”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.
    Çarpımsal birim öğe (Etkisiz eleman)
    • [​IMG] bir rasyonel sayı ise [​IMG] olduğunda [​IMG] çarpmanın birim öğesidir ve [​IMG] ile gösterilir.
    • [​IMG] rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir. [​IMG]
    Çarpımsal tersinir öğe (Ters eleman)
    • [​IMG] ve [​IMG] iki asyonel sayı olsun. Eğer [​IMG] ise bu iki sayı birbirinin çarpımsal tersidir.
    • [​IMG] , Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.
    Çarpmada değişme özelliği
    • [​IMG] Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
    Çarpmada birleşme özelliği
    • [​IMG] Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
    Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma)
    • [​IMG] , Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
    Çarpma işleminin çıkarma işlem üzerine dağılma özelliği
    • [​IMG] , Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
    İki rasyonel sayının farkı bulunurken, eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersidir.
    Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdır.Buna göre rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.
    Bölme belitleri

    • İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünen rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.
    • Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif; ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.
    [​IMG] [​IMG] [​IMG] [​IMG]
    • +1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.
    • (-1) tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.
    • Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.
    • Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.
    • Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.
    • Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
    • Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = pay . payda” ilişkisi vardır.
    • Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.
    • Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.
    • Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.
    Rasyonel sayıların eşitliği

    İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır. [​IMG] olmak üzere [​IMG] ve [​IMG] iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak [​IMG] olduğunda eşittir.
    Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkarsanabilir. İki rasyonel sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten [​IMG] koşulunu içermekteydi.
    Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük)

    Paydaları eşit olan rasyonel sayılar

    Paydaları eşit olan rasyonel oranlar icin payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.
    Örneğin [​IMG]
    Burada paydalar eşit ve 20dir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sagdaki pay 3 den daha büyük oldugu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.
    Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır:
    Payda 20ye eşit olup sağda ki negatif pay değeri -3, sağdaki negatif pay değeri olan -7den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.
    Arada olma

    İki rasyonel sayı arasına bir ya da birkaç rasyonel sayı yerleştirme işlemine denir.
    21 Kasım 2010
    #2
soru sor

rasyonel sayılar hakkında bilgi

Alakalı Aramalar:

  1. rasyonel sayılar hakkında bilgi

    ,
  2. rasyonel sayilar hakkinda kisa bilgi