KarmaŞik (kompleks) Sayilar

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, yuni1 üyesi tarafından 5 Kasım 2007 tarihinde yazılmıştır. Konu Özeti: KarmaŞik (kompleks) Sayilar. KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel... Rasyonel Sayilar Asal sayilar ...

  1. KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR


    ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
    Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

    A. TANIM:
    a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
    C = { z : z = a + bi ; a, b  R ve -1 = i } dir.
    ( i = -1  i² = -1 dir.)
    z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

    Örnek:
    Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = 3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
    Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
    Z2 = 2 - 3i  Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
    Z3 = 3 + i  Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1,
    Z4 = 7  Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
    Z5 = 10i  Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

    Örnek:
    x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

    Çözüm:

    Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
    Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
    X1,2 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
    2a 2.1 2
    Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.







    B. İ ‘NİN KUVVETLERİ

    iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
    Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

    Buna göre , n  N olmak üzere,

    i4n = 1
    i4n + 1 = i
    i4n + 2 = -1
    i4n + 3 = -i dir.

    Örnek:

    ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.

    Çözüm:
    i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
    i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
    i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
    i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,

    (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

    C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

    Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

    Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
    Z2 = c + di }








    Örnek:
    Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
    Z 2 = 8 + (a + b)i
    Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.

    Çözüm:
    Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
    a + 3 = 8  a = 5
    2b + 3 = a + b  2b + 3 = 5 + b  b = 2 dir.

    Örnek:
    Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
    Z2 = 0
    Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.


    Çözüm:
    Z1 = Z2 olduğundan,
    a – 2 = 0  a =2,
    a + b + 3 = 0  2 + b + 3 = 0  b = -5 tir.
    O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.

    D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ


    _
    Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

    Örnek:
    _
    1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
    _
    2) Z2 = 2 - 3i sayısının eşleniği Z2 = 2 + 3i,
    _
    3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
    _
    4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
    _
    5) Z5 = 3 - 2 sayısının eşleniği Z5 = 3 - 2 dir.

    Örnek:
    Z = a + bi olmak üzere,
    _
    3 . Z – 1 = 2(4 – i)
    olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

    Çözüm:
    _
    3 . Z – 1 = 2(4 – i)
    3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
    3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
    olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

    3a – 1 = 8  3a = 9  a = 3 ve
    -3b = -2  b = 2/3 tür.

    O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
    Not:

    __
    1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
    .
    2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
    _
    karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

    E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

    1) Toplama - Çıkarma

    Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).

    Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )

    Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )


    Örnek:

    Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,

    Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
    = ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
    = 10 – 7i

    Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
    = ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
    = -6 – 13i

    2) Çarpma:

    Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

    Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.


    Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)


    = a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )

    = ac – bd + ( ad + bc )i

    Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
    _ _
    Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi )  Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.

    Örnek:
    Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
    a) Z1 . Z2
    _
    b) Z1 . Z1

    c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
    Çözüm:

    a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)


    = 6 + 4i – 3i – 2i2
    = 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i
    = 8 + i dir.

    b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )
    = 22 – i2
    = 4 – ( -1)
    = 5 tir.

    c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
    = 32 + 2.3.2i + (2i)2
    = 9 + 12i – 4
    = 5 + 12i dir.

    Örnek:

    ( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
    ( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
    ( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
    ( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210

    3) Bölme:

    Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
    Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.

    Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
     =  =  = 
    Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2









    Örnek:

    Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.

    Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
     =  =  =  =  = 2 + i dir.
    Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5








    Not:

    1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
    çarpma işlemine göre tersi,

    1 1 a – bi
     =  =  dir.
    Z a + bi a2 + b2

    _ _
    2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
     = 
    Z3 z3


    Örnek:

    3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.

    Çözüm:

    3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,

    1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
    ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
    3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25




    Örnek:

    1 + 2i 1 – 2i
    ¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
    1 – i 1 + i

    Çözüm:

    1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )
    ¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
    1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
    ( 1 + i ) ( 1 – i )
    1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
    = ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
    2 2 2

    ( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i
    = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
    2 2


    Örnek:

    1 – i 40
    ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
    1 + i


    Çözüm:

    1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
    ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
    1 + i 12 + 12 2 1 + i



    F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
    GÖRÜNTÜSÜ


    1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.

    2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.

    3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.

    Örnek:

    Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,

    1) Karmaşık düzlemde
    2) Vektör uzayında gösterelim.

    Çözüm:

    1) imajiner eksen 2)
    Z = 1 + 2i
    2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)


    0 ree eksen 0
    1 1






    G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )

    Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y

    noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
    z
    mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir. x
    a


    Z = a + bi  Z=  a2 + b2 dir.

    Örnek:

    Z = 5 + 12i
    karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.

    Çözüm:
    12 Z = 5 + 12i
    Z = 5 + 12i  Z

    Z =  52 + 122
    = 13 tür. 0
    5
    Örnek:

    Z = ( a + 2 ) + 3i
    Z = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

    Çözüm:
    ____________
    Z= 5  ( a + 2 )2 + 32 = 5  ( a + 2 )2 + 32 = 52  ( a + 2 )2 = 16

    olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.

    a + 2 = 4  a = 2 veya
    a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
    a + 2 = -4  a = -6 dır.











    H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
    _ _ _
    1) Z= -Z= Z=-Z=i.Z=-i.Z=...

    2) Z1.Z2= Z1.Z2

    3) Z1 Z1
    ¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
    Z2 Z2

    4) Zn = Zn
    _
    5) Z . Z = Z2

    6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2

    Örnek:
    3 – 3i
    Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z = ?
    1 + i

    Çözüm:

    3 – 3i sayısının mutlak değeri,  32 + 32 = 32 dir.

    1 + i sayısının mutlak değeri, 12 + 12 = 2 dir. O halde,

    3 – 3i 32
    Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
    1 + i 2

    Örnek:

    i2 = -1 olmak üzere,

    Z1 = 2 + ni

    Z2 = 1 + 2i
    _______
    Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?

    Çözüm:

    Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
    ______
    Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.

    Z1 + Z2 = 5   32 + (n + 2)2 = 5  32 + (n + 2)2 = 52  (n + 2)2 = 42 olduğundan,

    n + 2 = 4  n = 2 veya
    n + 2 = -4  n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
    Örnek:

    i2 = -1 olmak üzere ,

    1 - xi
    Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z10=?
    1 + xi
    Çözüm:

    Z10 = Z10 dur.

    1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir. Buna göre,

    1 - xi
    Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir.
    1 + xi


    1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,

    Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir.

    2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.

    Örnek:

    A = Z : Z – 4 – 3i = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.

    Çözüm:

    Z = x + yi olsun, y

    Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4
    3
     x + yi – 4 – 3i= 2

     (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
    4
    (x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.

    Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.









    SORULAR

    1) i = -1 olmak üzere

    -2 . -8 + 1
    ¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
    (-3)2
    Çözüm:

    -2 . -8 + 1 -1. 2. -1.8 + 1 i. 2.i.22 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
    ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
    (-3)2 -3 3 3 3

    2) i = -1 olmak üzere,

    i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun.

    Çözüm:

    i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,

    i-5 = i-5+8 = i3 = -i,

    i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2.(-i) – i = 2i


    3) i2 = -1 olmak üzere,

    2x2 – 2x + 2
    f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
    x3 + 1

    Çözüm:

    2x2 – 2x + 2
    f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
    x3 + 1

    2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
    f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir.
    i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2









    4) i2 = -1 olmak üzere,
    1 1
    ¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
    2 – i 2 + i

    Çözüm:

    1 1 2 + i + 2 - i 4
    ¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
    2 – i 2 + i 22 + 12 5
    ( 2 + i ) (2 – i)

    5) x < 0 olmak üzere,

    Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?

    Çözüm:

    Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x

    Z =  -1.(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)

    Z = -1 . x - 1 + x

    Z = x + (1 – x)i bulunur.

    Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir.

    Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1


    6) i = -1 olmak üzere,

    Z1 = a + i

    Z2 = 2 – i
    ______
    Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ?

    Çözüm:

    Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i
    ______
    Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i
    ______
    Z1 – Z2= 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 22  (a – 2) 2 = 0  a = 2






    7) i = -1

    i + 1
    ¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?
    Z

    Çözüm:

    i + 1 1 + i 2i
    ¾¾¾ = 1 – i  Z = ¾¾  Z = ¾  Z = i .
    Z 1 - i 2
    (1 + i)

    Z2003 = i2003 = i3 = - i

    8) Z = x + yi olmak üzere,
    _
    (i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i olduğuna göre, Z = ?

    Çözüm:
    _
    (i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i  (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i  xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i

     -x + (2x + y)i = 2 – 3i

    -x = 2  x = -2 ve 2x + y = -3  -4 + y = -3  y = 1

     Z = -2 + i ve Z = 5

    9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,
    _
    2.Z Z + Z
    ¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?
    Z - Z i

    Çözüm:
    _
    Z = x + yi  Z = x – yi
    _ _
    Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi

    Z2 = (  x2 + y2 )2 = x2 + y2

    ve Re(Z) – İm(z) = x – y .

    _
    2.Z Z + Z 2.Z 2x
    ¾¾¾¾ = ¾¾¾  ¾¾¾¾ = ¾¾  (x + y)2 = 0  x – y = 0
    Z - Z i Z - Z i




    10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,

    Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x

    Çözüm:

    Z – 3i < Z + 3

    x + yi – 3i < x + yi + 3

    x + (y – 3)i < (x + 3) + yi

    x2 + (y – 3)2 <  (x + 3)2 + y2

    x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2

    x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2

    -6y < 6x

    y > -x
    5 Kasım 2007
    #1
  2. KarmaŞik (kompleks) Sayilar Cevapları

soru sor

KarmaŞik (kompleks) Sayilar

Alakalı Aramalar:

  1. karmaşık sayılarda çözüm kümesi bulma

    ,
  2. Karmasık sayılar carpma ıslemı ornek

    ,
  3. karmasik sayilarda carpma islemine gore tersi

    ,
  4. çarpma işlemine göre tersi karmaşık sayılar,
  5. karmasik sayilar carpma islemi tersi,
  6. karmaşık sayının çarpma işlemine göre tersi,
  7. karmasik sayilarin toplama islemine gore tersi,
  8. karmaşık sayılarda denklem çözüm kümesi