KarmaŞik (kompleks) Sayilar

İsimli konu WH 'Matematik' kategorisinde, yuni1 üyesi tarafından 5 Kasım 2007 tarihinde yazılmıştır. Konu Özeti: KarmaŞik (kompleks) Sayilar. KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel... Rasyonel Sayilar Asal sayilar ...

  1. KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR


    ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
    Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

    A. TANIM:
    a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
    C = { z : z = a + bi ; a, b  R ve -1 = i } dir.
    ( i = -1  i² = -1 dir.)
    z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

    Örnek:
    Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = 3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
    Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
    Z2 = 2 - 3i  Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
    Z3 = 3 + i  Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1,
    Z4 = 7  Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
    Z5 = 10i  Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

    Örnek:
    x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

    Çözüm:

    Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
    Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
    X1,2 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
    2a 2.1 2
    Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.







    B. İ ‘NİN KUVVETLERİ

    iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
    Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

    Buna göre , n  N olmak üzere,

    i4n = 1
    i4n + 1 = i
    i4n + 2 = -1
    i4n + 3 = -i dir.

    Örnek:

    ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.

    Çözüm:
    i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
    i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
    i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
    i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,

    (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

    C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

    Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

    Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
    Z2 = c + di }








    Örnek:
    Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
    Z 2 = 8 + (a + b)i
    Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.

    Çözüm:
    Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
    a + 3 = 8  a = 5
    2b + 3 = a + b  2b + 3 = 5 + b  b = 2 dir.

    Örnek:
    Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
    Z2 = 0
    Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.


    Çözüm:
    Z1 = Z2 olduğundan,
    a – 2 = 0  a =2,
    a + b + 3 = 0  2 + b + 3 = 0  b = -5 tir.
    O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.

    D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ


    _
    Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

    Örnek:
    _
    1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
    _
    2) Z2 = 2 - 3i sayısının eşleniği Z2 = 2 + 3i,
    _
    3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
    _
    4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
    _
    5) Z5 = 3 - 2 sayısının eşleniği Z5 = 3 - 2 dir.

    Örnek:
    Z = a + bi olmak üzere,
    _
    3 . Z – 1 = 2(4 – i)
    olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

    Çözüm:
    _
    3 . Z – 1 = 2(4 – i)
    3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
    3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
    olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

    3a – 1 = 8  3a = 9  a = 3 ve
    -3b = -2  b = 2/3 tür.

    O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
    Not:

    __
    1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
    .
    2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
    _
    karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

    E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

    1) Toplama - Çıkarma

    Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).

    Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )

    Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )


    Örnek:

    Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,

    Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
    = ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
    = 10 – 7i

    Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
    = ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
    = -6 – 13i

    2) Çarpma:

    Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

    Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.


    Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)


    = a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )

    = ac – bd + ( ad + bc )i

    Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
    _ _
    Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi )  Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.

    Örnek:
    Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
    a) Z1 . Z2
    _
    b) Z1 . Z1

    c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
    Çözüm:

    a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)


    = 6 + 4i – 3i – 2i2
    = 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i
    = 8 + i dir.

    b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )
    = 22 – i2
    = 4 – ( -1)
    = 5 tir.

    c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
    = 32 + 2.3.2i + (2i)2
    = 9 + 12i – 4
    = 5 + 12i dir.

    Örnek:

    ( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
    ( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
    ( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
    ( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210

    3) Bölme:

    Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
    Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.

    Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
     =  =  = 
    Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2









    Örnek:

    Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.

    Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
     =  =  =  =  = 2 + i dir.
    Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5








    Not:

    1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
    çarpma işlemine göre tersi,

    1 1 a – bi
     =  =  dir.
    Z a + bi a2 + b2

    _ _
    2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
     = 
    Z3 z3


    Örnek:

    3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.

    Çözüm:

    3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,

    1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
    ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
    3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25




    Örnek:

    1 + 2i 1 – 2i
    ¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
    1 – i 1 + i

    Çözüm:

    1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )
    ¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
    1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
    ( 1 + i ) ( 1 – i )
    1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
    = ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
    2 2 2

    ( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i
    = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
    2 2


    Örnek:

    1 – i 40
    ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
    1 + i


    Çözüm:

    1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
    ¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
    1 + i 12 + 12 2 1 + i



    F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
    GÖRÜNTÜSÜ


    1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.

    2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.

    3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.

    Örnek:

    Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,

    1) Karmaşık düzlemde
    2) Vektör uzayında gösterelim.

    Çözüm:

    1) imajiner eksen 2)
    Z = 1 + 2i
    2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)


    0 ree eksen 0
    1 1






    G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )

    Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y

    noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
    z
    mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir. x
    a


    Z = a + bi  Z=  a2 + b2 dir.

    Örnek:

    Z = 5 + 12i
    karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.

    Çözüm:
    12 Z = 5 + 12i
    Z = 5 + 12i  Z

    Z =  52 + 122
    = 13 tür. 0
    5
    Örnek:

    Z = ( a + 2 ) + 3i
    Z = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

    Çözüm:
    ____________
    Z= 5  ( a + 2 )2 + 32 = 5  ( a + 2 )2 + 32 = 52  ( a + 2 )2 = 16

    olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.

    a + 2 = 4  a = 2 veya
    a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
    a + 2 = -4  a = -6 dır.











    H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
    _ _ _
    1) Z= -Z= Z=-Z=i.Z=-i.Z=...

    2) Z1.Z2= Z1.Z2

    3) Z1 Z1
    ¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
    Z2 Z2

    4) Zn = Zn
    _
    5) Z . Z = Z2

    6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2

    Örnek:
    3 – 3i
    Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z = ?
    1 + i

    Çözüm:

    3 – 3i sayısının mutlak değeri,  32 + 32 = 32 dir.

    1 + i sayısının mutlak değeri, 12 + 12 = 2 dir. O halde,

    3 – 3i 32
    Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
    1 + i 2

    Örnek:

    i2 = -1 olmak üzere,

    Z1 = 2 + ni

    Z2 = 1 + 2i
    _______
    Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?

    Çözüm:

    Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
    ______
    Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.

    Z1 + Z2 = 5   32 + (n + 2)2 = 5  32 + (n + 2)2 = 52  (n + 2)2 = 42 olduğundan,

    n + 2 = 4  n = 2 veya
    n + 2 = -4  n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
    Örnek:

    i2 = -1 olmak üzere ,

    1 - xi
    Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z10=?
    1 + xi
    Çözüm:

    Z10 = Z10 dur.

    1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir. Buna göre,

    1 - xi
    Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir.
    1 + xi


    1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,

    Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir.

    2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.

    Örnek:

    A = Z : Z – 4 – 3i = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.

    Çözüm:

    Z = x + yi olsun, y

    Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4
    3
     x + yi – 4 – 3i= 2

     (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
    4
    (x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.

    Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.









    SORULAR

    1) i = -1 olmak üzere

    -2 . -8 + 1
    ¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
    (-3)2
    Çözüm:

    -2 . -8 + 1 -1. 2. -1.8 + 1 i. 2.i.22 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
    ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
    (-3)2 -3 3 3 3

    2) i = -1 olmak üzere,

    i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun.

    Çözüm:

    i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,

    i-5 = i-5+8 = i3 = -i,

    i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2.(-i) – i = 2i


    3) i2 = -1 olmak üzere,

    2x2 – 2x + 2
    f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
    x3 + 1

    Çözüm:

    2x2 – 2x + 2
    f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
    x3 + 1

    2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
    f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir.
    i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2









    4) i2 = -1 olmak üzere,
    1 1
    ¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
    2 – i 2 + i

    Çözüm:

    1 1 2 + i + 2 - i 4
    ¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
    2 – i 2 + i 22 + 12 5
    ( 2 + i ) (2 – i)

    5) x < 0 olmak üzere,

    Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?

    Çözüm:

    Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x

    Z =  -1.(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)

    Z = -1 . x - 1 + x

    Z = x + (1 – x)i bulunur.

    Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir.

    Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1


    6) i = -1 olmak üzere,

    Z1 = a + i

    Z2 = 2 – i
    ______
    Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ?

    Çözüm:

    Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i
    ______
    Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i
    ______
    Z1 – Z2= 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 22  (a – 2) 2 = 0  a = 2






    7) i = -1

    i + 1
    ¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?
    Z

    Çözüm:

    i + 1 1 + i 2i
    ¾¾¾ = 1 – i  Z = ¾¾  Z = ¾  Z = i .
    Z 1 - i 2
    (1 + i)

    Z2003 = i2003 = i3 = - i

    8) Z = x + yi olmak üzere,
    _
    (i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i olduğuna göre, Z = ?

    Çözüm:
    _
    (i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i  (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i  xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i

     -x + (2x + y)i = 2 – 3i

    -x = 2  x = -2 ve 2x + y = -3  -4 + y = -3  y = 1

     Z = -2 + i ve Z = 5

    9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,
    _
    2.Z Z + Z
    ¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?
    Z - Z i

    Çözüm:
    _
    Z = x + yi  Z = x – yi
    _ _
    Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi

    Z2 = (  x2 + y2 )2 = x2 + y2

    ve Re(Z) – İm(z) = x – y .

    _
    2.Z Z + Z 2.Z 2x
    ¾¾¾¾ = ¾¾¾  ¾¾¾¾ = ¾¾  (x + y)2 = 0  x – y = 0
    Z - Z i Z - Z i




    10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,

    Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x

    Çözüm:

    Z – 3i < Z + 3

    x + yi – 3i < x + yi + 3

    x + (y – 3)i < (x + 3) + yi

    x2 + (y – 3)2 <  (x + 3)2 + y2

    x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2

    x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2

    -6y < 6x

    y > -x
    5 Kasım 2007
    #1
  2. KarmaŞik (kompleks) Sayilar Cevapları

soru sor

KarmaŞik (kompleks) Sayilar

Alakalı Aramalar:

  1. karmaşık sayılarda çözüm kümesi bulma

    ,
  2. karmasik sayilarin toplama islemine gore tersi

    ,
  3. karmaşık sayılarda denklem çözüm kümesi